1.在QC中，证明下列定理：
（1）
⇁（∃x P（x）∧Q（y））→（∃x P（x）→⇁Q（y））；
（2）
（∀x（⇁P（x）→Q（x））∧∀x⇁Q（x））→P（y）；
（3）
∀x（P（x）→Q（x））∧∀x（Q（x）→R（x））→（P（y）→R（y））；
（4）
∀x（P（x）∨Q（x））∧（∀x⇁P（x））→∃x Q（x）；
（5）
∀x（P（x）∨Q（x））∧（∀x⇁P（x））→∀x Q（x）；
（6）
⇁∀x（P（x）∨Q（x））∧（∀x⇁P（x））→⇁∀x Q（x）.
2.在QC中证明下列定理：
（1）
∀x（p∨P（x））→p∨∀x P（x）；
（2）
p∨∀x P（x）→∀x（p∨P（x））；
（3）
∀x（p∨P（x））↔p∨∀x P（x）；
（4）
∀x（p∧P（x））→p∧∀x P（x）；
（5）
p∧∀x P（x）→∀x（p∧P（x））；
（6）
∀x（p∧P（x））↔p∧∀x P（x）；
（7）
∀x（p→P（x））↔（p→∀x P（x））；
（8）
∀x（P（x）→p）↔（∃x P（x）→p）；
（9）
∃x（p→P（x））↔（p→∃x P（x））；
（10）
∃x（P（x）→p）↔（∀x P（x）→p）；
（11）
∃x（P（x）→p）↔（∀x P（x）→p）；
（12）
∃x（p∨P（x））↔p∨∃x P（x）；
（13）
∀x P（x）∧∃x Q（x）→∃x（P（x）∧Q（x））；
（14）
∀x∀y（P（x，y）→Q（x，y））→（∀x∀y P（x，y）→∀x∀y Q（x，y））；
（15）
∀x∃y（P（x，y）→Q（x，y））→（∃x∀y P（x，y）→∃x∃y Q（x，y））；(https://www.daowen.com)
（16）
∀x∃y（P（x，y）→Q（x，y））→（∀x∀y P（x，y）→∀x∃y Q（x，y））.
3.谓词演算的求否定规则为：设α为一阶公式，其中→和↔不出现，α的否定式α-可用下面的方法直接求得：
（1）∨被代以∧，∧被代以∨；
（2）∀Δ被代以∃Δ，∃Δ被代以∀Δ；
（3）⇁π被代以π，⇁ρ（Δ1，Δ2，…，Δn）被代以ρ（Δ1，Δ2，…，Δn）；
（4）不出现于部分公式⇁π中的π被代以⇁π，不出现于部分公式⇁ρ中的ρ（Δ1，Δ2，…，Δn）被代以⇁ρ（Δ1，Δ2，…，Δn），其中Δ表示任意的x，y，…，ρ表示任意的谓词，并且，从
α→β可得
β-→α-，从
α↔β，可得
α-↔β-.
求下面公式的否定式：
①p∧⇁∀x∃y（P（x）∧Q（y））；
②∀x（P（x）↔Q（x））；
③∃x（P（x）∧∀y（⇁Q（y）→R（x，y）））；
④∀x P（x）→∀x Q（x）.
4.谓词演算的求对偶规则为：设α为一阶公式，其中→和↔不出现，α的对偶公式α可用下面的方法求得：
（1）把∧和∨互换；
（2）把∀Δ和∃Δ互换；并且，从
α→β可得
β→α，从
α↔β可得
α↔β.
利用对偶规则证明下面的定理：
①
∃x（P（x）∨Q（x））↔∃x P（x）∨∃x Q（x）；
②
∀x（P（x）∧Q（x））↔∀x P（x）∧∀x Q（x）；
③
∃x（p∧P（x））↔p∧∃x P（x）；
④
∃x（p∨P（x））↔p∨∃x P（x）；
⑤
∃x∃y R（x，y）↔∃y∃x R（x，y）；
⑥
∃x R（x，y）→∃x∃y R（x，y）.
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