实验2.8　杨氏模量的测定

2026年09月09日

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实验2.8　杨氏模量的测定

实验目的

1.掌握用拉伸法测定金属丝的杨氏模量；

2.学会用光杠杆测量长度的微小变化；

3.学会用逐差法处理数据。

实验器材

杨氏模量测量仪、光杠杆、镜尺组、钢卷尺、螺旋测微器、钢直尺、砝码。

实验原理

1.胡克定律和杨氏弹性模量当固体受外力作用时，它的体积和形状就会发生变化，这种变化称为形变。物体的形变可分为弹性形变和塑性形变。固体材料的弹性形变又可分为纵向、切变、扭转和弯曲。当外力不太大时，物体的形变与外力成正比，且外力停止作用，物体立即恢复原来的形状和体积，这种形变称为弹性形变。当外力较大时，物体的形变与外力不成比例，且当外力停止作用后，物体形变不能完全消失，这种形变称为塑性形变。塑性形变的产生是，由于物体形变而产生的内应力（大小等于单位面积上的作用力）超过了物体的弹性限度（屈服极限）。如果再继续增大外力，当物体内产生的内应力超过物体的强度极限时，物体便被破坏了。胡克定律：在物体的弹性限度内，胁强与胁变成正比，其比例系数称为杨氏模量（用E表示）。在数值上等于产生单位胁变时的胁强。它的单位与胁强的单位相同。其中，单位面积上所受到的力称为胁强，胁变是指在外力作用下的相对形变，它反映了物体形变的大小。杨氏模量用来描述材料抵抗纵向弹性形变的能力。

胡克定律指出，在弹性限度内，弹性体的应力和应变成正比。设有一根长为L，横截面积为S的钢丝，在外力F作用下伸长了ΔL，则

式中的比例系数E称为杨氏模量，单位为N·m-2。设实验中所用钢丝直径为d，则，将此公式代入上式整理以后得

上式表明，对于长度L、直径d和所加外力F相同的情况下，杨氏模量E大的金属丝的伸长量ΔL小。因而，杨氏模量是描述固体材料性质的一个重要的物理量，是工程设计上选用材料时常需涉及的重要参数之一。其一般只与材料的性质和温度有关，与外力及物体的几何形状无关。对一定材料而言，E是一个常数，它仅与材料的结构、化学成分及其加工制造的方法有关。杨氏模量的大小标志了材料的刚性。

为能测出金属丝的杨氏模量E，必须准确测出式（2-13）中等号右边各未知量。其中L，d，F都可用一般方法测得，唯有ΔL是一个微小的变化量，用一般量具难以测准，为了测量细钢丝的微小长度变化，实验中使用了光杠杆放大法间接测量。利用光杠杆不仅可以测量微小长度变化，也可以测量微小角度变化和形状变化，由于光杠杆放大法具有稳定性好、简单便宜、受环境干扰小等特点，在许多生产和科研领域得到广泛应用。

2.光杠杆和镜尺系统是测量微小长度变化的装置

光杠杆结构如图2-23（a）所示，它实际上是个附有三个尖足的平面镜。三个尖足的边线为一等腰三角形，前两足刀口与平面镜在同一平面内（平面镜俯仰方位可调），后足在前两足刀口的中垂线上。镜尺系统由一把竖立的毫米刻度尺和在尺旁的一个望远镜组成。镜尺系统和光杠杆组成如图2-23（b）所示的测量系统。

将光杠杆和镜尺系统按图2-23（b）安装好，并按仪器调节步骤调节好全部装置之后，就会在望远镜中看到由镜面M反射的直尺（标尺）的像。标尺是一般的米尺，但中间刻度为0。其光路部分如图2-24所示。图中M1表示钢丝处于伸直情况下光杠杆小镜的位置。从望远镜的目镜中可以看见水平叉丝对准标尺的某一刻度线n0，当在钩码上增加砝码（第i块）时，因钢丝伸长致使置于钢丝下端附着在平台上的光杠杆后足P跟着下降到P′，PP′即为钢丝的伸长ΔL，于是平面镜的法线方向转过一角度θ，此时平面镜处于位置M2，在固定不动的望远镜中会看到水平叉丝对准标尺上的另一刻线ni，ni-n0=Δn。假设开始时对光杠杆的入射光线和反射光线相重合，当平面镜转一角度θ，则入射到光杠杆镜面的光线方向就要偏转2θ，故∠n0Oni=2θ，因θ甚小，OO′也很小，故可认为平面镜到标尺的距离D≈O′n0，并有

图2-23

又从△OPP′，得

式中b为后足至前足连线的垂直距离，称为光杠杆常数。从以上两式得

可称作光杠杆的“放大率”，上式中b和D可以直接测量，因此只要在望远镜测得标尺刻线移过的距离（ni-n0），即可算出钢丝的相应伸长ΔLi。将ΔLi值代入（2-13）式后得

式中d为钢丝的直径。

图2-24　光杠杆原理

注意事项

1.实验系统调好后，一旦开始测量，在实验过程中绝对不能对系统的任一部分进行任何调整。否则，所有数据需重新再测。

2.增减砝码时要防止砝码晃动，以免钢丝摆动造成光杠杆移动。待系统稳定后才能读取数据，并注意槽码的各槽口应相互错开，防止因钩码倾斜使槽码掉落。(https://www.daowen.com)

3.注意保护平面镜和望远镜，不能用手触摸镜面。

4.待测钢丝不能扭折，如果严重生锈和不直必须更换。

5.光杠杆的支脚z1，z2的尖端必须放在V形槽的最深处，此时光杠杆最平衡。支脚应放在圆柱夹头的圆平面处，而不能放在圆柱形夹头的顶部夹住钢丝的孔或缝里。

6.望远镜要调整以消除视差。

7.因刻度尺中间刻度为零，在逐次加砝码时，如果望远镜中标尺读数由零的一侧变化到另一侧时，应在读数上加负号。

8.在读数时应随时注意读数是否有误。这可以由两点来判断。（1）在相同的F下，增重与减重时标尺上的读数应大致相同。（2）由于胁变与胁强成正比，因此每次加1.0kg时引起的伸长量（即相邻两个读数误差）应大致相同。如果与这两点要求偏差过大，应检验仪器是否正常，钢丝本身是否平直，光杠杆主杆尖脚z3不要与金属丝相碰，钢丝夹头是否夹紧（特别是光杠杆支脚的位置及平面镜是否松动），读数是否正确。

9.测量D时应该是标尺到平面的垂直距离。测量时卷尺应该放水平。

10.实验完成后，应将砝码取下，防止钢丝疲劳。

实验步骤

1.夹好钢丝，调整支架呈竖直状态，在钢丝的下端悬一钩码和适量砝码（这些重量不算在以后各次所加重量之内），使钢丝能够自由伸张。

2.安置好光杠杆，前足刀口置于固定平台的沟内，后足置于钢丝下端附着的平台上，并靠近钢丝，但不能接触钢丝，不要靠着圆孔边，也不要放在夹缝中，使平面镜M与平台大致垂直。

3.调节望远镜，使之处于平面镜同一高度；沿望远镜筒上面的缺口和准星观察到平面镜M；通过改变平面镜M的仰角，能够从标尺附近通过平面镜M反射看到望远镜。调节右侧的物镜调焦手轮和调节镜筒下面的竖直旋钮，改变平面镜M的仰角，从望远镜中先寻找到平面镜M，并对准平面镜M中心；然后调节望远镜物镜调焦手轮看到标尺的像。如无标尺的像，则可在望远镜外观察，移动望远镜，使准星A，B与平面镜中标尺像在一直线上，这时在望远镜中就可以看到标尺的像。调节目镜看清十字叉丝。观察望远镜中的标尺像，标尺要竖直，望远镜应水平对准平面镜中部。

4.试加几个砝码，估计一下满负荷时标尺读数是否够用，如不够用，应对平面镜进行微调，调好后取下砝码。

5.记录望远镜中水平叉丝对准的标尺刻度初始读数n0（不一定要为零），再在钢丝下端加砝码（1.0kg），记录望远镜中标尺读数ni，以后依次加1.0kg重的砝码，并分别记录望远镜中标尺的读数，这些是增量过程中的读数。然后，再每次减少1.0kg重的砝码，并记下减重时望远镜中标尺的读数，填写在数据记录表格中（见后面数据记录部分）。

6.用米尺测量平面镜与标尺之间的距离、钢丝长度，用游标卡尺测量光杠杆长度b（把光杠杆在纸上按一下，留下z1，z2，z3三点的痕迹，连成一个等腰三角形。作其底边上的高，即可测出b）。用螺旋测微器测量钢丝直径d，测量5次。可以在钢丝的不同部位和不同的径向测量。因为钢丝直径不均匀，截面也不是理想的圆。

7.用分组逐差法计算（ni-n0），ni-n0=