4.1.3 放射性平衡
若长半衰期的放射性母体核素衰变产生短半衰期的放射性子体核素，而子体核素衰变产生长寿命的放射性核素或稳定核素，则随着母体核素的衰变，子体核素不断生长、衰变，直至子体核素活度达到最大，即达到放射性平衡。母体和子体的关系可描述为：
式中，N 1为母体核素的原子数，N 2为子体核素的原子数，λ1为母体核素的衰变常数，λ2为子体核素的衰变常数，N 1λ1表示生成子体核素原子的速率，N 2λ2表示子体核素原子的衰变率。
对式（4.1）积分，可得：
式中，
为母体核素的初始原子数，
为子体核素的初始原子数，k为母体核素原子衰变为子体核素的份额。
放射性核素原子数N和活度A有如下的关系式：
以A代入关系式（4.2）则：
式中，A 2为t时刻子体核素的活度，
为t=0时刻母体核素的活度，
为t=0时刻子体核素的活度。式（4.4）是任何放射性母-子体核素间的通式。若t=0时刻，
，则式（4.4）可简化为：
母-子体放射性平衡有以下两种情况。
（1）长期平衡（secular equilibrium）(https://www.daowen.com)
当母体的半衰期比子体的半衰期长得多时，即λ2≫λ1时，母子体之间的放射性平衡即为长期平衡。钇-90[90 Y]和锶-90[90 Sr]之间的平衡就属此种平衡，母体90 Sr的T 1/2=29.1年，子体90 Y的T 1/2=64.1 h。当积累时间达到4～7个子体的半衰期时，母子体即可达到放射性平衡，若在t=0时刻子体核素的放射性活度
为0，k=1，此时式（4.4）可简化为：
也就是说，达到长期平衡时，子体和母体的活度相同，随后子体核素的活度按照母体核素的半衰期进行衰减。长期平衡的母子体衰变与生长关系曲线见图4.1。
图4.1 长期平衡时母-子体衰变与生长关系
在放射化学分析测量过程中，常常利用测量达到长期平衡的子体核素的活度反映母体核素的活度，如通过测量平衡后90 Y的活度反映母体90 Sr的活度，测量平衡后228 Ac的活度反映母体228 Ra的活度_等。也可利用长期平衡制备放射性核素发生器，生产无载体的短半衰期的子体，如锶-90[90 Sr]-钇-90[90 Y]核素发生器。
（2）暂时平衡（transient equilibrium）
当母体半衰期比子体半衰期长，但又不算太长，即λ2＞λ1时，母-子体之间的放射性平衡即为暂时平衡。当t足够大，且A 02为0时，式（4.4）可简化为：
式中，T 1为母体核素的半衰期，T 2为子体核素的半衰期。
从式（4.7）和式（4.8）可以看出，当达到暂时平衡后，子体和母体两者的活度比保持不变，子体的活度就以此比值随母体活度的降低而降低。若k=1，暂时平衡的母子体衰变与生长关系曲线见图4.2。
图4.2 暂时平衡时母-子体衰变与生长关系
临床上最常用的钼-99[99 Mo]-锝-99m[99m Tc]核素发生器就属这种平衡，其中母体99 Mo的T 1/2为66.02 h，子体99m Tc的T 1/2为6.02 h。