对于非线性系统来说，基于算子理论的鲁棒右互质分解可以很好的保障系统的鲁棒稳定性，对于跟踪控制器的设计，当采用反馈跟踪时，涉及的算子逆的范数的求解，到最后都需要设计一个新的算子，并且需要参数的优化，而一般这个新的算子也不是很容易得到的，所以再次考虑一种新的跟踪控制器的理论研究方法。本书基于算子理论的鲁棒右互质分解采用了Bezout恒等式的条件，我们先不考虑不确定性的存在，那么非线性系统的右互质分解图如图4-22所示[13]。

图4-22　非线性系统的右互质分解

根据图2-5到图2-6的等效关系，我们可以得到图4-22的等效图，如果我们令M-1=I，那么输入空间U=W，图4-22可以等效为图4-23，如图4-23所示。

加上跟踪控制器C之后，采用开环控制，那么非线性的跟踪控制如图4-24所示。

图4-23　图4-22的等效图

图4-24　非线性系统的跟踪控制

从图中我们可以得到，跟踪算子C与算子N的关系，如果此时我们能找到当跟踪算子为算子N的逆时，那么输出y就可以很好的跟踪上参考输入。我们已经知道算子的逆很难得到，那么如何来求算子N的逆呢?考虑跟踪算子的设计是在基于Bezout恒等式的鲁棒稳定的基础上进行的，所以本文将跟踪算子的设计与Bezout恒等式相联系[14]。

我们已知Bezout恒等式为：

令M=I，那么Bezout恒等式可转变成：

由非线性系统的右互质分解，我们已经得到算子S、R、N、D，我们令算子Z=RD，那么式（4-43）可以变成：

由此可以得到算子N的逆为：

那么跟踪算子C就可以得到：

跟踪算子C的关系图如图4-25所示。

图4-25　跟踪算子C的设计

因为算子S和Z是已知的算子，所以跟踪算子C也就得到了。

我们可以对上面的算法进行一下简单的证明，证明过程如下[11]。

证明：

如图4-26所示非线性系统的跟踪控制图，其中S、Z都是已知的稳定算子，其中Z=RD，并且满足Bezout恒等式SN+RD=I。

图4-26　非线性系统的跟踪控制

从图中我们可以得到：

a=S（r），b=Z（u）

那么v=a+b=S（r）+Z（u）

又u=I（v）=v(www.daowen.com)

所以

u=S（r）+Z（u）

u-Z（u）=S（r）

（I-Z）（u）=S（r）

u=（I-Z）-1 S（r）

又y=N（u）

所以y=N（I-Z）-1 S（r）

由Bezout恒等式SN+RD=I我们可以得到：

SN=I-RD

又Z=RD

所以I-Z=I-RD=SN

那么y=N（I-Z）-1 S（r）=N（SN）-1 S（r）=NN-1 S-1 S（r）=I（r）=r

满足系统的输出等于参考输入的跟踪控制，所以该跟踪控制器的设计满足要求。证明完毕。

对于珀尔贴制冷系统，我们已经知道其右互质分解的算子，S、R、N、D分别为：

那么可以得到：

那么跟踪算子C也就得到了。

对于存在不确定性的非线性系统，由于扰动加在了N上，所以此时的Bezout恒等式为：

那么含有不确定性的非线性系统可以等效成图4-27。

图4-27　含有不确定性的非线性系统的鲁棒右互质分解

同样令M=I, Z=RD，那么我们可以得到N+ΔN的逆为：

由此得到的跟踪算子C与不含不确定性的非线性系统是一样的。