对于标量型随机变量，高斯一维概率密度函数（PDF，Probability Density Function）定义为

其中，μ 是x 的均值；σ2 是x 的方差，用x ～N（μ，σ2）表示。其中“～”表示“服从……分布”。该分布的均值和方差分别为

图2-7 给出了高斯概率密度函数的图例。

图2-7　高斯随机变量的概率密度函数

其二维概率密度函数为

其中，x = [x1 x2]T；μ = [μ1 μ2]T = [ E（X（t1）） E（X（t2））]T。

式中，C-1 是C 的逆矩阵；|C|是C 的行列式；T 表示转置。

其N 维概率密度函数为

式中，C 为协方差矩阵。若用Cij 表示矩阵中元素，Cij = E[（X（ti）-μi）（X（tj）-μj）]。(www.daowen.com)

高斯随机变量的特点是N 维概率密度函数可由均值和方差矩阵来决定，因此，若已知其一阶矩和二阶矩就可以写出N 维概率密度函数；高斯随机变量不相关和独立是等价的，这是由于不同随机变量若互不相关的话，其协方差必然为零，即协方差矩阵中的元素

一个复随机变量Z 是复高斯的，如果Z=X+jY，其中，X 和Y 是实联合高斯随机变量，则z 的分布即由X 和Y 的联合分布给定。

可以证明，对于联合高斯随机变量X 和Y，若cov[XY] = 0，则p（x，y） = p（x）p（y）。也就是说，高斯随机变量如果不相关就是独立的。

高斯随机向量可得到以下主要性质：

（1）任意子向量也是高斯随机向量；“独立性”与“不相关性”等价。

（2）正态随机向量的线性变换仍是正态随机向量。因此，若干正态随机变量的线性组合仍是正态随机变量。

正态分布是一种重要分布，在通信、雷达、导航及信号处理领域经常用来描述各种噪声。正态分布具有很多有用的性质，后面将具体介绍。另外，多个独立的非正态分布随机变量之和有趋于正态分布的趋势。从图2-8 可以大概看出正态分布函数和误差函数的变化规律及两者之间的关系。

图2-8　正态分布函数与误差函数