令R_t表示t-1时刻至t时刻n×1维列向量，R_t的期望值和条件方差分别记作μ=E（R_t）以及∑_t=∑_t|t-1=E[（R_t-μ）（R_t-μ）^′|I_t-1]，其中I_t-1代表t-1时刻可用的信息集。假设风险资产在t-1时刻的投资权重为n×1维列向量ω_t-1，那么t-1时刻至t时刻投资组合权重R_{p, t}可以写作：

其中1代表n×1维，各个元素均取值为1的列向量，R_f为无风险收益率。

按照Markowitz（1952）的做法，假设投资者希望在给定的目标期望收益率约束下，最小化投资组合的方差，即投资者求解以下最优问题：

其中μ_p为目标期望收益率。

在期货的持有成本定价模型下，期货的收益率等于标的资产收益率减去无风险收益率。所以式（6.1）和（6.2）可以重新写作

其中μ和∑_t分别代表期货合约收益率的均值和协方差矩阵。显然，问题的解可以写作

在式（6.5）中，我们有2个未知参数，即期望收益率μ以及条件协方差阵∑_t需要估计。Chopra（1993）指出，在均值方差框架下，风险资产的权重对预期收益率的变动非常敏感。因而本章我们按照Fleming et al.（2001）的做法，首先令μ等于样本内收益率的无条件均值。在后续的分析中，我们基于bootstrapping方法考察参数μ的不确定性如何影响投资者的最优投资组合。

本章我们假设投资组合包含2个期货合约，我们采用以下4种方法对条件协方差矩阵∑_t进行估计，包括静态模型、BEKK模型、BCJI模型以及BAJI模型。静态模型利用样本内数据估计样本协方差，即

其中T为样本内观测值数量。

BEKK模型假设收益率服从多元正态分布，其协方差阵是时变的∑_t=H_t，其中H_t服从由式（6.7）给出的BEKK过程。以往文献，如Fleming et al.（2001）、Fleminga et al.（2003）以及Chou and Liu（2010）指出，根据波动率变动动态调整投资组合权重有利于提高投资组合的绩效。

BCJI模型设定收益率的冲击包含2个分量：一个分量服从正态分布，其协方差矩阵是时变的，且服从一个BEKK过程；另一个分量服从复合泊松分布，其中跳跃强度假设为不随时间变化的常数。

最后，与BCJI模型类似，BAJI模型设定收益率的冲击同样包含2个分量：一个分量服从均值为0的正态分布，其中协方差阵服从BEKK过程；另一个分量服从复合泊松分布，但允许跳跃强度是时变的。在下一节中，我们将详细介绍BAJI模型的设定，并讨论如何在BAJI模型下计算条件协方差矩阵。

由于我们主要关注的是条件协方差阵的建模，所以我们令r_t=R_t-μ, r_t=[r_1，t, r_2，t]^′，其中r_{i, t}表示第i个期货合约在时刻t减去样本均值的收益率。由于组合中包含2个风险资产，我们构建一个二元BAJI模型来刻画期货合约的动态过程。

类似于Maheu and McCurdy（2004）和Chan（2004），我们将r_t分解为2个当期独立的部分：

其中ε_t=[ε_1，t, ε_2，t]^′表示平缓的价格变动，而ξ_t=[ξ_1，t, ξ_2，t]^′代表受突发事件影响产生的价格跳跃。假定ε_t服从均值为0的二元正态分布，其协方差H_t为时变的，服从一个BEKK（1, 1）过程

其中A和B为2个2×2的参数矩阵，C是下三角矩阵。

按照Chan（2004）的做法，我们假定跳跃冲击项ξ_t为补偿复合泊松过程，即

其中J_k=[J_1，k, J_2，k]^′是一个跳跃幅度的二元随机向量，服从均值为θ=（θ₁, θ₂），协方差阵为Γ的二元正态分布，其中

我们假设当m≠n时，J_1，m和J_2，n是不相关的。随机过程n_1，t和n_2，t分别统计2个风险资产的跳跃次数。我们设定一个跳相关模型为n₁, _t=N_c, _t＋N_1，t, n₂, _t=N_c, _t＋N_2，t，其中N_{c, t}统计了2个资产的共同跳跃，N_1，t, N_2，t则分别统计2个资产各自的跳跃次数。假设N_{c, t}, N_1，t和N_2，t是相互独立的泊松过程，它们的跳跃强度是时变的，分别记作λ_{c, t}, λ_1，t和λ_2，t。所以2个资产的跳跃次数n_1，t和n_2，t都是泊松过程，它们的跳跃强度为

E（n_1，t）=E（N_c, _t＋N_1，t）=λ_c, _t＋λ₁, t

E（n_2，t）=E（N_c, _t＋N_2，t）=λ_c, _t＋λ₂, t

而λ_{c, t}、λ_1，t和λ_2，t的动态跳跃过程设定为

其中自回归系数ρ_M是衡量跳跃强度持续性的参数，能够刻画重大事件对金融市场的持续性影响。

跳跃冲击项η_{M, t-1}定义为

ηM, _t-1=E（N_M, _t-1|I_t-1）-λ_M, t-1

其中E（N_M, _t-1|I_t-1）是基于信息集I_t-1对跳跃次数N_{M, t-1}的事后估计，而λ_M, _t-1=E_t-2（N_{M, t-1}）是基于信息集I_t-2对N_{M, t-1}的事前预测。两者之差，即ξ_{M, t-1}，代表当t-1时刻新的信息可用时，跳跃次数N_{M, t-1}估计值的更新。此外，Maheu and McCurdy（2004）指出，ξM, _t-1是一个定义在信息集I_t上的鞅，并且满足当s≠t时有cov（ξ_{M, s}, ξ_{M, t}）=0。在设定一个动态过程的冲击项时，满足上述条件是一个非常好的性质。为了保证式（6.10）中的λ_{M, t}是正的，我们对式（6.10）中的参数设定了以下约束条件：λ_M, ρ_M, φ_M≥0，以及ρ_M≥φ_M。

我们采用极大似然估计法估计BAJI模型。模型的对数似然函数可以写作

其中q（r_t|I_t-1）为r_t的条件概率密度函数，其表达式为

给定N_c, _t=i, N₁, _t=j, N₂, _t=k，由式（6.6）, r_t可以写作(www.daowen.com)

其中

所以r_t的条件密度函数为

其中

实际上是错误的。

同时，预测概率Pr（N_M, _t=k|I_t-1），其中M=c，1, 2，有以下表达式

其中跳跃强度λ_{M, t}由式（6.10）给定。

最后，跳跃次数的后验期望E（N_M, _t|I_t）可以写作

由贝叶斯法则，后验概率Pr（N_M, _t=k|I_t）为

其中q（r_t|N_M, _t=k, I_t-1）为给定N_M, _t=k条件下，r_t的条件密度函数。当M=c时，我们有

另外，q（r_t|N₁, _t=k, I_t-1）和q（r_t|N₂, _t=k, I_t-1）可以通过类似的公式求得。

在式（6.6）中，由于ε_t和ξ_t是当期独立的，因而r_t的条件协方差矩阵可以写作

其中H_t=var（ε_t|I_t-1）代表平缓冲击的条件协方差，K_t=var（ξ_t|I_t-1）代表跳跃冲击的条件协方差。显然，H_t可以通过式（6.7）计算。以下命题给出K_t的计算方法。

命题6.1　跳跃冲击ξ_t=[ξ_1，t, ξ_2，t]^′的条件协方差矩阵为

其中

var（ξ1, _t|I_t-1）=（λ_c, _t＋λ_1，t）（θ²₁＋δ₁）

var（ξ2, _t|I_t-1）=（λ_c, _t＋λ_2，t）（θ²₂＋δ₂）

这里，N_m=min（N_1，t, N_2，t），它的条件期望E（N_m）可以通过下式求得

其中

Pr（N_m=k）=Pr（N₁, _t=k）Pr（N₂, _t＞k）＋Pr（N₂, _t=k）Pr（N₁, _t＞k）＋Pr（N₁, _t=k）Pr（N₂, _t=k）.

上式中，对于i=1, 2，我们有

证明：由式（6.8）（6.9）, ξ_1，t和ξ_2，t都为服从补偿泊松分布的随机变量，所以它们的条件方差可以写作

由全方差法则，我们有

由于当i≠k时cov（J_1，i, J_2，k）=0，所以上式的第一项可以写为

其中N_m=min（N_1，t, N_2，t）。类似的，由于N_{c, t}, N_1，t和N_2，t相互独立，第二项可以通过以下公式计算

=λ_c,t|t-1θ₁θ₂.