差分方程收敛性-偏微分方程数值解法：土建类

差分方程解的收敛性问题，简单地说，就是当步长h无限缩小时，差分方程的解是否逼近微分方程的解。这个问题是有限差分法中的一个重要问题，若不能保证当h→0时，ε_j=y（x_j）-y_j→0，则所得的差分解没有实用价值。为讨论差分方程解的收敛性问题先引入两个概念。

定义一 称由

R_j（y）=Ly（x_j）-L_hy（x_j） （1.2.22）

所确定的R_j（y）为差分方程的截断误差。

定义二 若存在一个与步长h无关的常数K，使不等式

|R_j（y）|≤Kh^p

成立，即

R_j（y）=O（h^p）

则称L_h具有p阶精度。

下面我们对微分方程式（1.2.17）和差分方程式（1.2.19）进行讨论。

将y′的差分表达式（1.2.8）和y″的差分表达式（1.2.10）代入，得

其中，x_j-1＜ξ＜x_j+1，x_j-1＜η＜x_j+1。显然，当h→0时，R_j（y）→0。事实上，只要y（x）在[a，b]上具有直到二阶的连续导数，则由微分中值定理容易推得

于是，对于[a，b]上具有二阶连续导数的任何函数，差分算子L_h逼近微分算子L，且由式（1.2.23）可知，在y（x）具有四阶连续导数时，L_h就有二阶精度。考虑到

其中，a_j，b_j和c_j由式（1.2.20）给出。

若令

根据式（1.2.20），考虑到

得

为了推导方便，把条件q（x）≥0改成(https://www.daowen.com)

q（x）≥k＞0，x∈[a，b]

由b_j=2+h²q_j，得

于是

即

由R_j（y）→0，得ε→0。由此可以得出，对于方程式（1.2.17），若该方程的解y（x）在[a，b]上具有二阶连续导数，且p（x），q（x）和r（x）都是在[a，b]上的连续函数，q（x）≥k＞0，则由差分方程（1.2.19）所确定的差分解必收敛于微分方程的解，即

进一步，若方程式（1.2.17）的解y（x）在[a，b]上具有四阶连续导数，则对于式（1.2.19），有

y（x_j）-y_j=O（h²）

此即对差分解的误差估计。

事实上，若令

及

则由式（1.2.23），可得

由式（1.2.24）得

即

y（x_j）-y_j=O（h²）

上面考虑的边值问题为第一类边界条件，对于第二类和第三类的边界条件，因其中包含导数，必须用适当的有限差分格式来表示导数。例如，若要求误差项是O（h），则有

若要求误差项是O（h²），则有

不难看出，在以上两种情况中，对于前一种情况，差分方程的系数矩阵是三对角的，而后一种情况，作简单的变形，也可将差分方程的系数矩阵化为三对角矩阵。