FPC中的可证公式-数理逻辑思想与方法

本节给出FPC系统中一些常用的可证公式及其证明，目的是使读者能熟练掌握本系统中可证公式的证明方法.关于可证公式的排列顺序，我们让它与本章第三节中公理系统PC中的可证公式的排列顺序基本相同.

定理5.1 （β→γ）→（（α→β）→（α→γ））.

证明

定理5.2 （α→β）→（（β→γ）→（α→γ））.

证明

定理5.3 α→α.

证明

定理5.4 ⇁α∨α.

证明

定理5.5 α∨⇁α.

证明 证明方法同定理5.4（略）.

定理5.6 α→⇁⇁α.

证明

定理5.7 ⇁⇁α→α.

证明

定理5.8 α↔⇁⇁α.

因为我们已经证明了α→β和β→α，那么下面是α↔β的一个证明.即取α→β的一个证明π1和β→α的一个证明π2并且再加上一个公式，我们就可以得到α↔β的一个证明π.

以后，在得到了α→β并且β→α之后，我们就直接写下α↔β.

因此，定理5.8可以由定理5.7和定理5.6得.

定理5.9（α→β）→（⇁β→⇁α）.

证明

定理5.10 （⇁β→⇁α）→（α→β）.

证明

定理5.11 （α→β）↔（⇁β→⇁α）.

证明 由定理5.10和定理5.9可得.

定理5.12 （α↔β）→（α→β）.

证明

定理5.13 （α↔β）→（β→α）.

证明

定理5.14 ⇁（α∧β）→⇁α∨⇁β.

证明

定理5.15 ⇁α∨⇁β→⇁（α∧β）.

证明

定理5.16 ⇁（α∧β）↔⇁α∨⇁β.

证明 由定理5.14和定理5.15可得.

定理5.17α→β∨α.

证明

定理5.18 α→α∨α.

证明 同定理5.17的证明，只要把其中的β取为α即可.

定理5.19 α∨α↔α.

证明 由本章第四节例4.1和定理5.18可得.

定理5.20 ⇁（α∨β）→⇁α∧⇁β.

证明

定理5.21 ⇁α∧⇁β→⇁（α∨β）.

证明

定理5.22 ⇁（α∨β）↔⇁α∧⇁β.

证明 由定理5.21和定理5.20可得.

定理5.23 α∧β→β∧α.

证明

定理5.24 α∧β→α.

证明

定理5.25 α∧β→β.

证明

定理5.26 α∨（β∨γ）→β∨（α∨γ）.

证明

定理5.27 α∨（β∨γ）→（α∨β）∨γ.

证明

定理5.28 （α∨β）∨γ→α∨（β∨γ）.

证明

定理5.29 α∨（β∨γ）↔（α∨β）∨γ.

证明 由定理5.28和定理5.27可得.

定理5.30 α∧（β∧γ）→（α∧β）∧γ.

证明

定理5.31 （α∧β）∧γ→α∧（β∧γ）.

证明

定理5.32 α∧（β∧γ）↔（α∧β）∧γ.

证明 由定理5.30和定理5.31可得.

定理5.33 α→（β→α∧β）.

证明

定理5.34 （α→（β→γ））→（β→（α→γ））.

证明

定理5.35 （α→（β→γ））→（α∧β→γ）.

证明

定理5.36 （α∧β→γ）→（α→（β→γ））.

证明

定理5.37 （α→（β→γ））↔（α∧β→γ）.

证明 由定理5.35和定理5.36可得.

定理5.38 （α→（α→β））→（α→β）.

证明

定理5.39 （α→β）→（α→（α→β））.

证明

定理5.40 （α→（α→β））↔（α→β）.

证明 由定理5.38和定理5.39可得.

定理5.41 α∨（β∧γ）→（α∨β）∧（α∨γ）.

证明

定理5.42 （α∨β）∧（α∨γ）→α∨（β∧γ）.

证明

定理5.43 α∨（β∧γ）↔（α∨β）∧（α∨γ）.(https://www.daowen.com)

证明 由定理5.41和定理5.42可得.

定理5.44 α∧（β∨γ）→（α∧β）∨（α∧γ）.

证明

定理5.45 （α∧β）∨（α∧γ）→α∧（β∨γ）.

证明

定理5.46 α∧（β∨γ）↔（α∧β）∨（α∧γ）.

证明 由定理5.44和定理5.45可得.

定理5.47 （α→β）∧（α→γ）→（α→β∧γ）.

定理5.48 （α→β）→（⇁α∨β）.

证明

定理5.49 （⇁α∨β）→（α→β）.

证明

定理5.50 （α→β）↔（⇁α∨β）.

证明 由定理5.48和定理5.49可得.

定理5.51 （α→β）→⇁（α∧⇁β）.

证明

定理5.52 ⇁（α∧⇁β）→（α→β）.

证明

定理5.53 （α→β）↔⇁（α∧⇁β）.

证明 由定理5.51和定理5.52可得.

定理5.54 （α∧β）→⇁（⇁α∨⇁β）.

证明

定理5.55 ⇁（⇁α∨⇁β）→（α∧β）.

证明

定理5.56 （α∧β）↔⇁（⇁α∨⇁β）.

证明 由定理5.54和定理5.55可得.

定理5.57 α∨β→⇁（⇁α∧⇁β）.

证明

定理5.58 ⇁（⇁α∧⇁β）→α∨β.

证明

定理5.59 α∨β↔⇁（⇁α∧⇁β）.

证明 由定理5.57和定理5.58可得.

定理5.60 （α↔β）→（⇁β↔⇁α）.

证明

定理5.61 （α↔β）→（（β↔γ）↔（α↔γ））.

证明

定理5.62 （α↔β）→（β↔α）.

证明

定理5.63 （α↔β）→（⇁α∨β）∧（⇁β∨α）.

证明

定理5.64 （⇁α∨β）∧（⇁β∨α）→（α↔β）.

证明

定理5.65 （α↔β）↔（⇁α∨β）∧（⇁β∨α）.

证明 由定理5.63和定理5.64可得.

定理5.66 （α↔β）→（α→β）∧（β→α）.

证明

定理5.67 （α→β）∧（β→α）→（α↔β）.

证明

定理5.68 （α↔β）→（α→β）∧（β→α）.

证明 由定理5.66和定理5.67可得.

定理5.69 （α↔β）→（α∧β）∨（⇁α∧⇁β）.

证明

其中定理：（α→β）→（γ→δ）→（α∨γ→β∨δ）的证明留作练习.

定理5.70 （α∧β）∨（⇁α∧⇁β）→（α↔β）.

证明

定理5.71 （α↔β）↔（α∧β）∨（⇁α∧⇁β）.

证明 由定理5.69和定理5.70可得.

定理5.72 （α→β）→（（β→α）→（α↔β））.

证明

定理5.73 α∨β→（⇁α→β）.

证明

定理5.74 （⇁α→β）→α∨β.

证明

定理5.75 （α∨β）↔（⇁α→β）.

证明 由定理5.73和定理5.74可得.

定理5.76 α∧β→⇁（α→⇁β）.

证明

定理5.77 ⇁（α→⇁β）→α∧β

证明

定理5.78 （α∧β）↔⇁（α→⇁β）.

证明 由定理5.76和定理5.77可得.

定理5.79 α→β→α.

证明

定理5.80 （α→β→γ）→（α→β）→（α→γ）.

证明

定理5.81 （⇁α→β）→（⇁α→⇁β）→α.

证明

定理5.82 （α→β）→（γ→α）→（γ→β）.

证明

定理5.83 （α→γ）→（β→γ）→（α∨β→γ）.

证明

定理5.84 （α→β）→（β→α）→（α↔β）.

证明

定理5.85 （α→β）∧（γ→δ）→（α∧γ）→（β∧δ）.

证明

定理5.86 （α→β）→（⇁α→β）→β.

证明