微分系统反射函数理论与应用：两个系统等价的充要条件

在7.1中我们已介绍对于微分系统

若Δ_k（t，x）为偏微分方程

Δ_t+Δ_xX-X_xΔ=0 （7.3.2）

的解，则系统（7.3.1）等价于系统

本节我们将证明

与系统（7.3.3）等价，当且仅当，

其中Δ_k为方程（7.3.2）的解，α_k（t）（k=1，2，…，m）为连续可微的奇函数.

为此首先给出几个引理.

引理7.3.1 2ω-周期系统=X（t，x）的反射函数F（t，x）=x的充要条件为

证 必要性 设F（t，x）=x为系统（7.3.3）的反射函数，则

X（t，x）+X（-t，x）=0.

又由于X（t+2ω，x）=X（t，x），则X（t，x）可展开成正弦级数，即

充分性 设

又 （X_k（x））t+X_k′（x）0-0X_k（x）≡0， sinkt+sin（-kt）=0，

则由定理7.1.1的推论可得等价于.又的反射函数为F≡x，从而结论成立.

引理7.3.2 设φ（t；t₀，x₀）为系统（7.7.3）满足条件x（t₀）=x₀的解，F（t，x）为其反射函数，则F（t，x）=φ（-t；0，φ（0；t，x））.

证 设（t₀，x₀）为任意一点，x（t）为过该点的解，则由反射函数的性质得

F（t，x（t））≡x（-t）≡φ（-t；0，x（0））≡φ（-t；0，φ（0；t，x（t））），

则

F（t，x（t））≡φ（-t；0，φ（0；t，x（t）））.

特别地

F（t₀，x₀）=φ（-t₀；0，φ（0；t₀，x₀）），

则由（t₀，x₀）的任意性可得引理的结论成立.

引理7.3.3 设F（t，x）为系统（7.3.3）和系统（7.3.4）的反射函数，φ（t；t₀，x₀）为系统（7.3.3）过（t₀，x₀）的解，则式（7.3.4）可通过变换z=φ（0；t，y）化为

且

Z（t，z）+Z（-t，z）=0.

证 设z（t）=φ（0；t，y）为式（7.3.6）的任一解，y（t）为系统（7.3.4）的任一解，则

z（-t）≡φ（0；-t，y（-t））≡φ（0；-t，F（t，y（t）））

≡φ（0；-t，φ（-t；0，φ（0；t，y（t））））

≡φ（0；t，y（t））=z（t），

即式（7.3.6）的任一解为t的偶函数，从而式（7.3.6）的反射函数Φ（t，z）≡z，从而式（7.3.6）的右端为t的奇函数.

定理7.3.1 微分系统（7.3.3）与系统（7.3.4）具有相同的反射函数，当且仅当，系统（7.3.4）满足条件y（0）=z（0，y₀）的解可表示为y=φ（t；0，z（t，y₀）），其中φ（t；0，x₀）为系统（7.3.3）满足条件x（0）=x₀的解，z（t，y₀）是一个关于y₀，t具有反函数的向量函数.

证 必要性 设系统（7.3.4）的反射函数与系统（7.3.3）相同，则由引理7.3.3，通过变换z=φ（0；t，y），即y=φ（t；0，z），微分系统（7.3.4）可化为式（7.3.6），且Z（t，z）=-Z（-t，z），即系统（7.3.6）具有反射函数Φ（t，z）=z，从而，式（7.3.6）满足条件z（0）=z₀的解z（t，z₀）=z（-t，z₀），则y=φ（t；0，z（t，y₀）），（y₀=z₀），z（t，y₀）+z（-t，y₀）=0，z=φ（0；t，y）关于y可逆.即必要性成立.

充分性 假设式（7.3.4）的解可表示为y=φ（t；0，z（t，y₀）），则

y（-t）=φ（-t；0，z（-t，y₀））=φ（-t；0，z（t，y₀））

=φ（-t；0，φ（0；t，y（t）））≡φ（-t；t，y（t））=F（t，y（t））.

由反射函数的性质可得，F（t，y）为系统（7.3.4）的反射函数.

定理7.3.2 微分系统

等价于系统（7.3.3）的充要条件为

其中Δ_k（t，x）为系统（7.3.2）的解，α_k（t）+α_k（-t）=0 （k=1，2，…，）.

证 充分性由定理7.1.1及其推论可得.

下证必要性 设φ（t；0，x₀）为系统（7.3.3）满足x（0）=x₀的解，并设在R上有定义，由定理7.3.1，微分系统（7.3.7）的解可表示为x=φ（t；0，z（t，x₀））.由条件知，系统（7.3.7）的反射函数与系统（7.3.3）的反射函数相同.又由φ（t；0，x）的定义可知，

φ（0；t，φ（t；0，x））≡x.

由此可导得

记U（t，x）∶=φ（0；t，x）.由于对于式（7.3.3）的解x=φ（t；0，x₀）有

φ（0；t，φ（t；0，x₀））=x₀=x（0）.

故U（t，x）为微分系统（7.3.3）的首次积分，从而又

记为函数z（t，x）的反函数，则由x=φ（t；0，z（t，x₀））推得z（t，x₀）=φ（0；t，x）≡U（t，x）.

从而（t；U（t，x）），因此

再应用式（7.3.9）可得

由于z（t，x）为t的偶函数，则其反函数（t，x）也是t的偶函数，从而为t的奇函数，因此为t的奇函数，则

从而

下面验证

Δ_kt+Δ_kxX-X_xΔ_k=0.

事实上，由式（7.3.9）及U（t，x）为方程（7.3.3）的首次积分，可计算得

从而定理的必要性成立.

注7.3.1 由定理7.3.2，对于任意系统（7.3.3），我们可以构造一个系统（7.3.7），使得系统（7.3.7）具有形式

Δ_k（t，x）满足式（7.3.2），α_k（t）+α_k（-t）=0，k=1，2，….

如果系统（7.3.3）为自治的，此时式（7.3.2）化为

下面我们假设X（x）任意次可微向量函数，我们将寻找式（7.3.11）幂级数形式的解

Δ=a₀（x）+a₁（x）t+…+a_n（x）tⁿ+… （7.3.12）

将此代入式（7.3.11）并比较等式两边t的同次幂的系数可得

a₁（x）+a₀′（x）X（x）-X′（x）a₀（x）=0，

ka_k（x）+a_k′_-1（x）X（x）-X′（x）a_k-1（x）=0 （k=1，2，…） （7.3.13）

由此我们可解出a_k（x），k=0，1，2，…从而可得级数（7.3.12）.最后再证明其收敛即可.(https://www.daowen.com)

例7.3.1 考虑方程

若我们选a₀（x）≡1，则得Δ₁=（1+tx）².若选a₀（x）≡x，则得Δ₂=x+tx².若选a₀（x）≡x²，则得Δ₃=x².因此，所有具有形式

即方程

与等价，这里α_k（t）为任意连续可微的奇函数.下面讨论线性微分系统

这里P（t）在R上连续，记Φ（t）为其基解矩阵，由7.3知，线性系统

与系统（7.3.14）具有相同反射函数的充要条件是

S（t）=F（-t）R（t）-R（-t）F（t），

这里R（t）是一个任意连续矩阵，并且

F（t）=Φ（-t）Φ^-1（t）

为系统（7.3.14）的反射矩阵.

从而

S（t）=F（-t）R（t）-R（-t）F（t）

=Φ（t）Φ^-1（-t）R（t）-R（-t）Φ（-t）Φ^-1（t）

=Φ（t）[Φ^-1（-t）R（t）Φ（t）-Φ^-1（t）R（-t）Φ（-t）]Φ^-1（t），

即

S（t）=Φ（t）A（t）Φ^-1（t），

这里A（t）∶=Φ^-1（-t）R（t）Φ（t）-Φ^-1（t）R（-t）Φ（-t）是一个奇的连续矩阵函数.因此，我们可以将S（t）表示为

其中a_ij（t）为奇的纯量函数，C_ij为常数矩阵.而且Δ_ij（t，x）=[X（t）C_ijX^-1（t）]x满足方程

Δ_t+Δ_xP（t）x-P（t）Δ=0.这就是定理7.3.2在线性情况下的结论.下面讨论两个等价系统解之间的相互关系^[85].

引理7.3.4 设微分系统（7.3.3）为2ω-周期的，其反射函数为F（t，x），其解为x（t），系统（7.3.4）与系统（7.3.3）等价，系统（7.3.4）的反射函数为Φ（t，x）=F（t，x），其解为y（t），若

x（-ω）=y（-ω） （7.3.15）

且x（t），y（t）可以延拓到[-ω，∞]上，则

x（2kω-ω）=y（2kω-ω），k∈N+. （7.3.16）

证 下面我们用数学归纳法来证明上述结论.

由式（7.3.15）及x（ω）=F（-ω，x（-ω））=Φ（-ω，x（-ω））=Φ（-ω，y（-ω））=y（ω）得，式（7.3.16）在k=1时成立.

假设k=n时式（7.3.16）成立.下证k=n+1时也成立，即

x（2nω+ω）=y（2nω+ω）. （7.3.17）

事实上，记z（t）=x（2kω+t），则z（t）也是系统（7.3.3）的解，同样记u（t）=y（2kω+t），则它也是系统（7.3.4）的解.由于z（-ω）=x（2kω-ω）=y（2kω-ω）=u（-ω），与前同理可得z（ω）=u（ω），即式（7.3.16）成立.

由数学归纳法，引理的结论成立.

定理7.3.3 设2ω-周期系统（7.3.3）等价于自治系统

并且

（A）x（-ω）=y（-ω）；

（B）系统（7.3.18）的解可以延拓到[-ω，∞]；

（C）存在一个常数a使得‖y（2kω-3ω）‖≤a，k∈N⁺；

（D）系统（7.3.3）满足不等式‖x（-ω）‖≤a的解都在[-ω，ω]上有定义，则系统（7.3.3）的解x（t）可以延拓到[-ω，∞）上且有界.

证 首先证明x（t）可以延拓到[-ω，∞）上.由条件（A）和（C）知

‖x（-ω）‖=‖y（-ω）‖≤a，

则由（D）得x（t）在[-ω，ω]上有定义，即结论当k=1时成立.

下证x（t）可以延拓到[-ω，3ω]上，记z（t）=x（t+2ω）由于系统（7.3.3）为2ω-周期系统，则z（t）也是系统（7.3.3）的解，且

‖z（-ω）‖=‖x（ω）‖=‖y（ω）‖≤a. （由引理7.3.4）

又由条件（D）可知z（t）可以延拓到[-ω，ω]上，也就是说x（t）能延拓到[-ω，3ω]上.应用数学归纳法我们可证x（t）可以延拓到[-ω，2kω+ω]上，再由k为任意的，从而可推知x（t）可以延拓到[-ω，∞）上.

下面证明x（t）在[-ω，∞）上有界.

由于所有满足‖x（-ω）‖≤a系统（7.3.3）的解x（t）可以延拓到[-ω，ω]上，则存在一个常数m使得‖x（t）‖≤m，对任意t∈[-ω，ω]成立.又由引理7.3.4知

x（2kω-3ω）=y（2kω-3ω）

对所有的整数k都成立.因此，对于z（t）∶=x（t+2kω）有

‖z（-ω）‖=‖x（2kω-ω）‖=‖y（2kω-ω）‖≤a，

从而

‖x（t+2kω）‖=‖z（t）‖≤m， t∈[-ω，ω].

因此，由正整数k的任意性得x（t）在[-ω，∞）上有界.

定理7.3.4 假设定理7.3.3中的条件（A），（C），（D）都成立，并且微分系统（7.3.18）的解y（t）为2ω-周期的且渐近稳定（或不稳定），则系统（7.3.3）的解x（t）也是2ω-周期且渐近稳定（或不稳定）.

证 设y（t）为2ω-周期解，则

x（ω）=F（-ω，x（-ω））=Φ（-ω，x（ω））=Φ（-ω，y（-ω））=y（ω）

=y（-ω）=x（-ω），

即x（ω）=x（-ω），由此推出x（-ω）为[-ω，ω]上的Poincaré映射F（-ω，x）的不动点，从而x（t）为2ω-周期解.又由于F（-ω，x）和Φ（-ω，x）是相同的Poincaré映射，从而周期解x（t）和y（t）的稳定性相同.

例7.3.2 考虑微分系统

这里a（t），b（t）为连续的2π-周期函数，且α₁（t）∶=a（t）-1，α₂（t）∶=b（t）-1为奇函数.

容易验证这个系统等价于自治系统

这里 Δ₀=α₁Δ₁+α₂Δ₂，

Δ₁=（x-x（x²+y²），y-y（x²+y²））^T，

Δ₂=（y，-x）^T，

X=（x+y-x（x²+y²）， -x+y-y（x²+y²））^T，

Δ1_t+Δ_1xX-X_xΔ₁=0，

Δ_2t+Δ_2xX-X_xΔ₂=0.

由于系统（7.3.20）有一个渐近稳定的极限环x²+y²=1（即（x（t），y（t））为2π-周期解），由定理7.3.4可推得（7.3.19）的从t=-π，x²（-π）+y²（-π）=1上出发的解为2π-周期并且除零解以外的非零解都在t→+∞时逼近该周期解.