6.1.1  应力应变关系

6.1.1 应力应变关系

线性材料的应力应变关系满足：

{σ}=[D]{ε^el}

式中，

{σ}——材料应变向量，如图6-1所示。使用各个组成量可以表示为，

{σ}=[σ_x，σ_y，σ_z，σ_xy，σ_yz，σ_xz]^T

[D]——材料刚度矩阵。

图6-1 各向应力示意图

{ε^el}——材料弹性应变，包括两个部分，一部分为由力载荷引起的普通应变{ε}，另一部分为稳定引起的热膨胀{ε^th}，热膨胀满足

{ε^th}=ΔT[α^se_z，α^se_z，α^se_z，0，0，0]

其中，ΔT为相对参考稳定的温差，ΔT=T−T₀；α为各向膨胀系数。

材料的应力应变关系又可以用下式来表示：(https://www.daowen.com)

{ε}={ε^th}+[D]−1{σ}

式中，挠度矩阵[D]−1满足下式，

挠度矩阵[D]−1假设为对称矩阵，即

因此，各个方向上的泊松比ν并不彼此相互独立。同时，进行分析时需要指定不同方向上的泊松比ν_xy、ν_xz、ν_yz或ν_yx、ν_zx、ν_yz。

对于各向同性材料，在没有输入切变模量的情况下，程序会默认采用下式计算切变模量：

而对于各向正交异性材料，需要首先查实切变模量的大小，然后输入到程序中，因为程序并不默认对各向正交异性材料求取切变模量。

注意：为了正确进行求解，刚度矩阵[D]必须为正定矩阵。在进行分析求解的时候，程序自动检查刚度矩阵[D]，如果发现其不是正定矩阵，将不能进行正确的求解。但在温度相关材料中，程序在第一个载荷步开始时，使用一定温度下的材料特性对刚度矩阵[D]进行检查。不过使用各向同性材料不用担心矩阵的正定性，因为其总是正定的。

通过前面的几个式子就可以求出受力状态下，材料的应变和切变以及正应力和切应力。