11.1.2 谐响应分析理论简介
1.谐响应分析假设与应用限制
谐响应分析可以用在结构、流场、磁场和电场分析中的自由度分析，以及在耦合场中与结构分析的自由度耦合的热分析自由度。但必须满足下列假设：
➢结构的刚度、阻尼和质量效应与频率无关。
➢所有载荷和位移约束在己知频率下正弦波动。
2.谐响应相关理论
对于二阶系统，谐响应的过程可以使用下面方程来表示：
式中，
[M]——结构质量矩阵；
[C]——结构阻尼矩阵；
[K]——结构刚度矩阵；
{Fa}——外加载荷向量；
——节点加速度向量；
——节点速度向量；
{u}——节点位移向量。
上式的解具有如下形式：
{u}={umaxeiϕ}eiΩt
式中，
umax——最大位移值；
i——常数-1的平方根；
ϕ——位移值的相位角弧度值；
Ω——外加载荷圆频率；
t——时间。
注意到在不同的自由度方向上，umax和ϕ可能不同，使用复数来进行描述，方程可以写成：
{u}={umax（cosϕ+isinϕ）}eiΩt=（{u1}+i{u2}）eiΩt
式中，
{u1}——实位移向量；
{u2}——虚位移向量。
注：在施加节点位移约束的命令D中，两个值分别用VALUE1、VALUE2表示。
谐响应过程中，结构受力可以表达为：
式中，(https://www.daowen.com)
{F1}——实作用力向量；
{F2}——虚作用力向量。
在施加节点集中力的命令中，两个值分别用VALUE1、VALUE2表示。根据前面的方程，可以得到：
（−Ω2[M]+iΩ[C]+[K]）（{u1}+i{u2}）=（{F1}+i{F2}）
求解结果采用复数形式输出时，可以使用下式进行转换
网格单元内节点反力包括由于刚度、阻尼和质量效应分别带来的惯性力、阻尼力和变形力，计算方式分别如下所示：
（1）惯性力计算
{Fm1}e=Ω2[M]e{u1}e
{Fm2}e=Ω2[M]e{u2}e
两式中，
{Fm1}e——单元内节点承受的惯性力实部向量；
{Fm2}e——单元内节点承受的惯性力虚部向量；
[M]e——单元质量矩阵；
{u1}e——单元节点位移实部矩阵；
{u2}e——单元节点位移虚部矩阵。
（2）阻尼力计算
{Fc1}e=−Ω[C]e{u1}e
{Fc2}e=−Ω[C]e{u2}e
两式中，
{Fc1}e——单元内节点承受的阻尼力实部向量；
{Fc2}e——单元内节点承受的阻尼力虚部向量；
[C]e——单元阻尼矩阵。
（3）变形力计算
{Fk1}e=−[K]e{u1}e
{Fk2}e=−[K]e{u2}e
两式中，
{Fk1}e——单元内节点承受的变形力实部向量；
{Fk2}e——单元内节点承受的变形力虚部向量；
[K]e——单元刚度矩阵。
节点反力为惯性力、阻尼力和变形力这3种力的矢量和。