2.1  麦克斯韦方程

2.1 麦克斯韦方程

大多数土壤水分和电导率的介电测量方法都是基于电磁场与介质的交互作用机制而提出的。电磁场对介质的作用包括介质的电极化和磁化。介质的电极化、磁化及其导电性又反过来影响电磁场的空间分布和电磁波的传播。研究电磁场与介质相互作用机制的基础是麦克斯韦方程与传输线理论。

麦克斯韦在1873年发布的麦克斯韦方程描述了宏观意义上的电现象和磁现象，这项工作总结了当时的电磁科学的成果，而且由理论考虑出发提出了存在位移电流的假说，这导致赫兹和马可尼发现了电磁波。普遍的时变形式的麦克斯韦方程可以写成“点”的形式或微分的形式，即

式中，是电场强度，单位为V/m；是磁场强度，单位为A/m；是电位移矢量（电通量密度），单位为C/m²；是磁感应强度（磁通量密度），单位为Wb/m²；是电流密度，单位为A/m²；ρ是电荷密度，单位为C/m³。带上标的符号表示时变矢量场，它们是空间坐标x，y，z和时间变量t的实函数。

在真空中，电场、磁场强度与相应的通量密度之间存在如下关系：

式中，μ₀是真空磁导率，μ₀=4π×10^-7（H/m）；ε₀是真空介电常数，ε₀=8.854×10^-12（F/m）。

上述方程对任意时变的电磁场都是成立的，但为了简单起见，通常仅考虑具有正弦时间变化规律的电磁场，对于非正弦时间变化的电磁场，可将其用傅里叶变换转化为多个正弦分量之后再进行分析。正弦时间变化的空间电场矢量可以表示为(https://www.daowen.com)

式中，、、分别是三个空间方向上的单位矢量；A是电场振幅（实数）；ω为角频率；ϕ是t=0时的参考相位。

TDR探针上的电磁波通常为横波（TEM波），即波上任意点的振动传播方向与波的传播方向垂直，在这种情况下，可以仅考虑其在某一个空间方向上的分量，如

其中，A_z为电场强度在方向上的振幅分量。本文中采用余弦基向量进行分析，即取式（2-4）的实部，有

上式是本文中分析电磁场在土壤中沿探针的传播行为的基础。麦克斯韦方程组的时谐形式为