2.3 有限元法和Matlab偏微分工具箱
有限差分法直接将偏微分方程离散化并根据泰勒级数展开写成差分格式近似求解，而有限元法则是把偏微分方程定解问题转化为一个等价的变分问题求解。较之有限差分法，有限元法的一个突出优点就是它可以解决在复杂几何形状上具有任意边界条件的微分问题。比如在二维情况下，有限元法使用三角形单元、四边形单元或多边形单元对求解区域进行剖分，这就能轻松适用于不规则形状的求解区域。
限于本书主旨和篇幅，本节不阐述有限元法的复杂原理，而是介绍一款Matlab中的基于有限元法的数值模拟工具—偏微分工具箱（PDE toolbox）的操作方法。简单来讲，偏微分工具箱给用户提供了3个功能：定义偏微分方程（设置计算区域、边界条件、方程参数）；数值求解偏微分方程（产生非结构网格、方程离散化、得到近似解）；将结果可视化。
在平面的有界区域Ω上，偏微分工具箱可处理以下4类问题：
（1）椭圆型（elliptic）方程：
-∇⋅(c∇u)+au=f （2-41）
（2）抛物型（parabolic）方程：
（3）双曲型（hyperbolic）方程：
（4）特征（eigen）值问题（λ为未知特征值）：
-∇⋅(c∇u) +au=λdu （2-44）(https://www.daowen.com)
其中，▽为向量微分算符，a、c、d、f和未知函数u均是Ω上的实（复）函数，对于抛物型和双曲型方程，a、c、d、f也可以包含时间t、函数u、以及函数u的梯度。此外，偏微分工具箱还可以处理方程组的情况。
在边界∂Ω处，边界条件有3种选择：
（1）狄利克莱（Dirichlet）边界条件，它给出了函数u在边界上的取值：
hu=r （2-45）
其中，h和r可以是空间（x和y）、函数u以及时间t的函数。
（2）诺依曼（Neumann）边界条件，它给出了函数u的变化率在边界上的情况：
n⋅(c∇u)+qu=g （2-46）
其中，向量n代表边界处向外的法线方向。q、g可以是空间（x和y）、函数u以及时间t的函数。
（3）混和边界条件，即同时存在前两种边界条件（仅限方程组的情况）。
