2.3.3  二维热传导方程

2.3.3 二维热传导方程

考虑这样一个热传导问题：一个长/宽为2×1的金属板，中央有一个半径为0.2的孔。此板左边界接触一温度为100的恒温热源，右边界接触一温度为200的恒温热源，其他边界绝热。时间t=0时金属板各处温度为100，那么t=10时这个金属板的温度空间分布u是怎样的？此问题的数学形式为：

取a=1，求解步骤如下：

启动偏微分工具箱，点击按钮，按下并拖曳鼠标左键画一个矩形。双击此矩形打开图形参数设置对话框，将Left、Bottom、Width、Height分别设置为-1、-0.5、2、1，点击OK。点击按钮，按住Ctrl键同时鼠标左键在原点按下并拖曳到合适位置，画一个半径近似为0.2的圆。双击此圆打开图形参数设置对话框，将X-center、Y-center、Radius分别设置为0、0、0.2，点击OK。再将Set formula后的内容修改为R1-C1，这样就设置好了求解区域。

点击按钮进入边界模式，双击每一段边界打开边界条件设置对话框，填入边界条件并点击OK。对于左边界，选择狄利克莱边界条件“Dirichlet”，设置h=1、r=100。类似地，将右边界选为狄利克莱边界条件“Dirichlet”，并令h=1、r=200。对于其他边界，均选择诺依曼边界条件“Neumann”，且q=g=0。

点击按钮打开方程参数设置对话框，方程类型选抛物型“Parabolic”。比较式（2-42）和式（2-48），可知参数取值如下：c=1、a=0、f=0、d=1。填入参数后点击OK。(https://www.daowen.com)

点击Solve菜单中的Parameters选项，弹出求解参数设置对话框。其中，Time一栏为求解的时间区间，填入0:10代表从t=0计算到t=10。u(t0)一栏为初始条件，这里填入100。其余两栏为相对误差和绝对误差，一般采用默认设置即可，最后点击OK。

点击按钮初始化三角网格，随后再根据需要多次点击按钮加密三角网格。

点击按钮求解方程，t=10时的数值解默认将会以彩色二维图显示。点击按钮打开画图设置对话框，勾选Color、Contour、Arrows，点击Plot，可得带等高线的彩色矢量场图，如图2-33所示。

图2-33 带等高线的彩色矢量场图