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谱方法的本质就是将函数近似写成光滑函数的有限级数展开式，因此，针对越是光滑的函数，级数展开式的项数就越少，谱方法的精度也就越高。例如对于一个存在p阶导数的函数，用谱求导矩阵求出的v阶导数将具有O(hp-v)的精度。精度高是谱方法最大的优势，对光滑函数的微分问题，它一般可达逾10位有效数字的精度，但有限差分法和有限元法通常只有4位或5位有效数字的精度。这是不难理解的，由于谱方法是一种全局的算法，它在计算某一处的导数时用到了所有已知点。而有限差分法作为一种局部算法，某一处的导数仅由临近的几个点运算得到，相比之下精度大打折扣。有限元法也是一种局部算法，其精度受到剖分单元的几何形状、剖分密度影响，还受制于计算机有限的计算速度和存储量，提高精度需要很大代价。
因为傅里叶谱方法无需构造大型矩阵，仅依赖于运算复杂度为O(NlogN)的FFT算法，所以它在保证高精度的同时，运算量也大大低于有限差分法和有限元法，且只需要很少的计算机内存，它的不足之处就是仅适用于周期性边界条件下的微分问题。切比雪夫谱方法可以处理第一、二、三类边界条件下的偏微分问题，但只能在规则区域内求解（直角坐标系下为矩形，极坐标系下为圆形）。这正是由谱方法的全局性造成的，全局性在带来高精度的同时，也限制了求解区域的一般性。仅在求解区域这一点上，谱方法不及有限元法的适用性强。
总结本书中处理微分方程的一般思路：
（1）针对只含空间坐标(x、y…)不含时间t的微分方程（椭圆型方程、特征值问题等）。求解思路是先将函数u和变量x、y等离散化，再利用求导矩阵将微分方程转换为矩阵的基本问题。如椭圆型方程就成了形如Au=f的矩阵问题，数值解即为u=A-1f。再如特征值问题可写为Au=λu的矩阵形式，数值解即为矩阵A的特征值和特征向量。
（2）针对形如下式的包含空间坐标x和时间t的偏微分方程（抛物型方程、非线性方程等）或方程组：(https://www.daowen.com)
求解思路为先将函数u和变量x离散化，再利用傅里叶谱方法或求导矩阵处理等号右边的∂u/∂x、∂2u/∂x2……，这样就可以将偏微分方程转换为耦合常微分方程组。最后使用时间步进法（推荐Matlab的ode系列函数）数值计算此耦合常微分方程组，得到指定时刻的数值解。上述过程见如下示意图。
而对于等号左边为高阶导数∂nu/∂tn（双曲型方程）或者等号右边有u在多个空间维度（x、y…）上的偏导数的情况，求解方法也大同小异。
在实际问题中遇到的规则区域上的微分方程（组）基本都可以用上述思路又快又好地数值求解。
