摘取皇后王冠上的明珠

哥德巴赫猜想早期版本为：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明这个猜想，大数学家欧拉也无法给出证明。这个数学史上的谜案就此流传下来，后来被通称为“哥德巴赫猜想”。由于现今数学界已经不再使用“1也是素数”这个约定，猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在给哥德巴赫的回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述即使用上述欧拉的版本。

目前研究哥德巴赫猜想主要有四个途径：殆素数、例外集合、小变量的三素数定理以及“几乎哥德巴赫问题”。

殆素数就是素数因子个数不多的正整数。设N是偶数，虽然不能证明N是两个素数之和，但足以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素数因子个数都不太多。用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表示为A+B，其中A和B的素数因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”。

例外集合是指在数轴上取定大整数x，再从x往前寻找使哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E（x）。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2。即只有2使猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E（x）永远等于1。当然，直到现在还不能证明E（x）=1；但是能够证明E（x）远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E（x）与x的比值趋于零。这就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。(https://www.daowen.com)

三素数定理指如果哥德巴赫的偶数猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来思考。已知奇数N可以表示成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，比如第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。

最后就是“几乎哥德巴赫问题”。现在已经证明：存在一个固定的非负整数k，使得任何大偶数都能写成两个素数与k个 2的方幂之和。能写成k个2的方幂之和的整数构成一个非常稀疏的集合；事实上，对任意取定的x，x前面这种整数的个数不会超过log x的k次方。因此，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素插到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。这里的k用来衡量“几乎哥德巴赫问题”向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0时，“几乎哥德巴赫问题”中2的方幂就不再出现。从而，“几乎哥德巴赫问题”就是哥德巴赫猜想。

华罗庚是中国最早研究哥德巴赫猜想的数学家。他赴英留学期间，师从哈代研究数论并开始研究哥德巴赫猜想，验证了对于几乎所有的偶数猜想。1950年，华罗庚回国，在中科院数学研究所组织数论研究讨论班，选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题。参加讨论班的学生中王元、潘承洞和陈景润等人后来在哥德巴赫猜想的证明上都取得了相当好的成绩。