Text C Systembeschreibungen

2026年07月26日

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Besitzt das zu untersuchende System als mathematisches Modell eine lineare Differentialgleichung(DGL)，so ist sie geschlossen lösbar und es gibt darauf aufbauend in der Regelungstechnik，aber natürlich auch in anderen Disziplinen，verschiedenartige Möglichkeiten，das Verhalten des Systems zu beschreiben oder darzustellen.Ein Teil dieser Darstellungsweisen wie der Frequenzgang oder die Ortskurve wurdenüber Schwingungen bereits andeutungsweise behandelt.

Die klassische Lösung einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten erfolgt dadurch，dass zuerst die homogene DGL mit Hilfe des Exponentialansatzes x(t)=C.est gelöst und dadurch algebraisiert wird.Danach müssen eine partikuläre Lösung der inhomogenen DGL gefunden und abschlieβend durch Einsetzen der Anfangsbedingungen die Integrationskonstanten bestimmt werden.Dazu sind n lineare Gleichungen mit n Unbekannten zu lösen，wodurch die klassische Methode unter Umständen sehr aufwendig werden kann.

Die Methode der Verwendung einer Funktionaltransformation wurde am Beispiel der Fourier-Transformation behandelt.Bei solchen Transformationen werden Funktionen，die im Originalbereich nur schwer zu handhaben sind，in einen Bildbereich transformiert.Im Bildbereich sind dann komplexe Rechenoperationen auf einfachere Operationen rückführbar，so dass die Probleme hier viel leichter behandelt oder gelöst werden können.Danach wird das Problem wieder in den Originalbereich zurücktransformiert，wodurch man die Problemlösung im Originalbereich erhält.Als einfaches Beispiel für eine solche Funktionaltransformation war das Logarithmenrechnen bereits erwähnt worden.Der Vorgang des Logarithmenrechnens sei am folgenden Beispiel einer Potenzfunktion dargestellt：

Man logarithmiert zuerst die Gleichung und transformiert dadurch die Funktion in den Bildbereich.Hier wird die Funktion”einfacher“，da nun die Exponierung durch eine Multiplikation ersetzt wird.Nach Durchführung der Multiplikation im Bildbereich erfolgt die Rücktransformation in den Originalbereich durch Delogarithmierung des Produktes，wodurch man den Wert von y erhält.

Mit Hilfe der auf Laplace(franz.Mathematiker 1749-1827)zurückgehenden Laplace-Transformation gelingt es，ohne den oben beschriebenen umständlichen Wegüber die allgemeine Lösung mit unbestimmten Konstanten，direkt die Lösung einer DGL zu den gegebenen Anfangsbedingungen zu finden.Da bei den erwähnten linearen DGLs der Originalbereich der Zeitbereich ist，benötigt man Funktionaltransformationen zwischen dem Zeitbereich und einem für die Lösung günstigen Bildbereich.Die Laplace-Transformation gehört ebenso wie die Fourier-Transformation zu den Integraltransformationen，für die die allgemeine Transformationsgleichung wie folgt lautet：

Wird in diese Gleichung eine Zeitfunktion f(t)eingesetzt，so ergibt sich nach Bestimmung des Integrals eine Zahl，die noch von der Gröβe s abhängig ist，also eine Funktion F(s).Der Ausdruck K(s，t)heiβt Kern der Transformation，durch dessen Beschaffenheit sich die Integraltransformationen voneinander unterscheiden.So wie eine einfache Funktion einer bestimmten Zahl genau eine andere Zahl zuordnet，ordnet die Integraltransformation einer Funktion der Variablen t eine neue Funktion der Variablen s zu.Bei der Laplace-Transformation gilt für den Kern der Transformation

d.h.s ist eine komplexe Variable.In der Transformierten wird die Zeit t als unabhängige Variable der reellen Funktion f(t)eliminiert und durch die komplexe Variable s ersetzt.

Da es sich bei den mit der Laplace-Transformation zu behandelnden Problemen um physikalische Vorgänge handelt，die man von einem willkürlichen Zeitpunkt t＝0 ab betrachten will，kann man die untere Integrationsgrenze grundsätzlich als t1＝0 annehmen，als obere Grenze wählt man t2＝∞.Damit lautet das Laplace-Integral dann：

Voraussetzung für die Existenz dieses Integrals einer Zeitfunktion f(t)ist wie bei der Furier-Transformation，dass das Integral konvergiert，d.h.der Wert des Integrals ist＜∞.

Für diese Zuordnung(Korrespondenz)ist auch die folgende Schreibweiseüblich：

Abb.8-5 RaMpenfunktion

Die Bestimmung der Laplace-Transformierten einer Zeitfunktion”Rampe“(Abb.8-5)soll nun beispielhaft durchgeführt werden.Die Rampenfunktion hat folgende Definition：

Die Laplace-Transformierte wird gebildet：

Durch partielle Integration erhält man：

Dies kann man abgekürzt schreiben als

Mit der so gefundenen Bildfunktion kann man nun im Bildbereich die erforderlichen Rechenoperationen vornehmen und muss dann die erhaltene Ergebnisfunktion in den Originalbereich(Zeitbereich)rücktransformieren Die Operation der Rücktransformation wird wie folgt dargestellt：

Dieser Gesamtvorgang für die Lösung linearer DGLs ist in Abb.8-6 nochmals dargestellt.

Abb.8-6 Lösung einer linearen Differentialgleichung durch die Laplace-TransforMation

Quelle：Einführung in die Mechatronik.S.300-302.

Ⅰ.Fragen zum Text

1.Warum braucht man die Fourier-Transformation？

2.Wie kann man mit einer Fourier-Transformation ein Problem lösen？(https://www.daowen.com)

3.Warum nimmt man die untere Integrationsgrenze als t1＝0 und die obere Grenze als t2＝∞an？

4.Was ist die Voraussetzung für das Laplace-Integral？

Ⅱ.Grammatik zum Text

Lösen Sie die fett gedruckten Passagen in Relativsätze auf.

a.Besitzt das zu untersuchende SysteM als mathematisches Modell eine lineare Differentialgleichung(DGL)，...

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b.Da es sich bei den Mit der Laplace-TransforMation zu behandelnden ProbleMen um physikalische Vorgange handelt，...

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c.Nach Durchführung der Multiplikation iM Bildbereich erfolgt die Rücktransformation in den Originalbereich durch Delogarithmierung des Produktes，wodurch man den Wert von y erhält.

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d.Wird in diese Gleichung eine Zeitfunktion f(t)eingesetzt，so ergibt sich nach BestiMMung des Integrals eine Zahl，die noch von der Gröβe s abhängig ist，also eine Funktion F(s).

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Ⅲ.Übersetzen Sie die folgenden Sätze ins Chinesische.

1.Besitzt das zu untersuchende System als mathematisches Modell eine lineare Differentialgleichung(DGL)，so ist sie geschlossen lösbar und es gibt darauf aufbauend in der Regelungstechnik，aber natürlich auch in anderen Disziplinen，verschiedenartige Möglichkeiten，das Verhalten des Systems zu beschreiben oder darzustellen.

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2.So wie eine einfache Funktion einer bestimmten Zahl genau eine andere Zahl zuordnet，ordnet die Integraltransformation einer Funktion der Variablen t eine neue Funktion der Variablen s zu.

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Ⅳ.Textwiedergabe

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