1.8　常用傅里叶变换对

1.8　常用傅里叶变换对

本节列举出傅里叶光学中一些常用函数的傅里叶变换对，如表1.8.1所示，供应用时参考。其中有一些可直接从傅里叶变换定义式求解，另一些则由傅里叶变换的基本定理导出。为了简洁起见，示例中暂时只讨论一维函数。对于可分离变量的二维函数，其变换式可直接从一维变换式的乘积求出。现举例计算如下。

表1.8.1　常用函数的傅里叶变换对

【证明】由傅里叶变换的定义和函数的筛选特性，有

再应用平移定理可证得

应用平移定理可证得

推论：

【证明】根据三角形函数的定义式（1.1.9）有

上式中第一个积分可直接计算，后两个积分可用分部积分法求得。将上述3个积分的计算结果经整理便得式（1.8.5）。

【证明】首先将梳状函数

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看作周期函数，且周期T=1，因此可把comb（x）按傅里叶级数展开为

式中

于是

故

本例说明梳状函数的傅里叶变换仍然是梳状函数。

【证明】函数代表一种线性调频信号或编码脉冲信号，其实部和虚部函数图形如图1.8.1所示。

图1.8.1　函数eiπx2的实部和虚部图形

令，并利用积分公式^[4]：

容易求得