习 题
2.1 在基尔霍夫衍射公式（2.2.16）或（2.2.20）中，同时对光场及其法向导数施加了边界条件，从而导致了理论本身的不自洽性。为了消除这种不自洽性，索末菲选择换用格林函数的办法，使新的格林函数或其法向导数在表面S1上为0，这时就不必同时对光场及其法向导数施加边界条件。例如，可以选择G同时由观察点P0及其关于衍射屏的镜像对称点
各自发出的同位相的单位振幅的球面波给定（图X2.1），即
图X2.1 习题2.1图示
式中，
是
点与P1点间的距离。
（1）试求：G+（P）在衍射屏上的法向导数。
（2）欲将观察点的复振幅用衍射孔径∑上的光扰动来表示，需要什么样的边界条件？
（3）利用（2）的结果，求出孔径被从P2点发出的单色球面波照明时U（P0）的表达式。
2.2 如果选择格林函数为
其中，“-”号表示由P0点和
点发出的球面波的位相正好相反。在此条件下，完成习题2.1中的（1）、（2）和（3）。
2.3 在圆孔的夫琅和费衍射花样中，设观察平面上的总光能流为I，半径为r0的圆面内所分布的光能流等于Ii（r0），它占总光能流的百分比为F（r0）。试求出F（r0）的表达式，并与表2.5.1进行比较。
2.4 试证明关系式（2.5.22）。
2.5 试证明关系式（2.5.35）。
2.6 设用单位振幅的单色平面波垂直照明如图X2.2所示的双矩孔，求其夫琅和费衍射图样的强度分布，并画出衍射强度沿x轴和y轴的截面图。设
，z是观察距离，λ是照明光波长。
图X2.2 双矩孔
2.7 若用一单位振幅的单色平面波垂直照明如图X2.3所示的方形环带，试导出该方形环带的夫琅和费衍射的表示式。
图X2.3 方形环带
2.8 如图X2.4所示，在边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为a的正方形掩模，其中心落在（ξ，η）点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出在与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光强度分布。
图X2.4 习题2.8图示
2.9 波长为λ的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一足够大的模板，其透过率函数为(https://www.daowen.com)
求透射场的角谱。
2.10 两个正弦振幅光栅G1和G2的透过率函数分别为
G1:t1(x)=t10+t′10cos(2πfxx)
G2:t2(y)=t20+t′20cos(2πfyy)
将它们按条纹方向正交密着叠放在一起（如图X2.5所示）。当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，求夫琅和费衍射斑的方向角。
图X2.5 两正弦光栅正交密着叠放
2.11 两个正弦光栅G1和G2的透过率函数分别为
G1:t1(x)=t10+t′10cos(2πf1x)
G2:t2(x)=t20+t′20cos(2πf2x)
将它们按条纹方向平行密着叠放在一起（如图X2.6所示）。当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，求夫琅和费衍射斑的方向角。
图X2.6 两正弦光栅平行密着叠放
2.12 如图X2.7所示为两个正弦光栅之和，它们的空间频率分别为f1和f2，当用单位振幅的单色平面波垂直照明时，求夫琅和费衍射斑的方向角。（本题所示的这种两个频率信息相加的组合方式，在实验上可以通过在同一底片上先后两次曝光，一次冲洗的办法实现，请参考7.7.2节。）
图X2.7 两个正弦光栅之和
2.13 若衍射孔径的透过率函数分别为
今采用单位振幅的单色平面波垂直照明上述孔径，求菲涅耳衍射图样在孔径轴上的强度分布。
2.14 一衍射屏的透过率函数为
今用单位振幅的单色平面波垂直照明该衍射屏，求观察平面上的菲涅耳衍射光场复振幅分布；并讨论观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时，屏上光振动的位相不随空间位置而变，即在空间是纯调幅的？又当观察屏与衍射屏之间的距离满足什么条件时，才是近似空间调相的？