三、毛管束模型

三、毛管束模型

几何理论最大的特点就是依据土壤孔隙分布特性及有关的理论推求土壤溶质迁移模式。随着土壤物理科学的发展，对土壤孔隙分布特性已有了较为清晰的认识，建立了描述土壤孔隙分布与土壤水分运动有关参数间关系的方法，为利用几何理论以及结合现有的土壤孔隙分布研究成果，推求土壤溶质迁移过程数学模型奠定了基础。欲从几何理论角度研究土壤溶质的迁移特性，需寻求土壤物理特性与土壤水分及溶质运移间的内在关系。根据土壤物理学可知，土壤水分特征曲线反映了土壤水分的静态特征，而土壤非饱和导水率反映了土壤水分的动态特征。Brooks和Corey（1964）建立了一种土壤水分特征曲线与非饱和导水率间的函数关系。这一关系的建立为从几何角度研究土壤水分运动及溶质迁移奠定了基础。因此可根据Brooks和Corey的建模思想，结合土壤溶质与水分运动的特点，从几何角度来研究土壤溶质的迁移机制。

1．基本假定

为了从几何理论角度研究土壤溶质迁移特点，需对土壤孔隙分布特征及各种尺寸的孔隙导水性能做必要的假定。假定土壤孔隙是由一系列大小不同的毛管所组成，并且这些毛管直径分布服从于土壤水分特征曲线；土壤中存在相对不动水体和可动水体，并且两者的质量交换是一个瞬时质量交换过程；在入渗过程中土壤溶质迁移主要是对流作用引起的，同时分子扩散作用可忽略，机械弥散作用只是对流作用的一部分。

2．数学模型

土壤含水量与土壤吸力间关系可用下式表示：

式中：θ为土壤含水量，cm3／cm3；θs为土壤饱和含水量，cm3／cm3；θr为相对不动水体含水量，cm3／cm3；hd为土壤进气吸力，cm；S为土壤饱和度；h为土壤吸力，cm。

根据毛管束理论，式（5-6）代表着某一尺寸毛管与其吸力间关系。根据HagenPoiseuille理论，某一尺寸毛管的导水率可表示为：

式中：kh为与饱和度相关的毛管导水率，cm／min；e为表面张力；u为水动力黏滞系数；g为重力加速度；T为孔隙的连接性，是土壤水饱和度的函数（Burdine，1953；Brooks和Corey，1964），即：

式中：a是一个常数；m是与土壤孔隙连接性有关的参数。

将式（5-7）代入式（5-8）得：

令E＝ae2／2ug，式（3-16）变为：

当S＝1时代表最大毛管，其导水率为：

土壤饱和导水率是所有导水孔隙的导水能力之和，可表示为：

因此，任意毛管导水率可表示为：

将式（5-12）代入式（5-13）得：

式中：ks／（θs－θr）代表土壤孔隙平均流速，而kh代表毛管流速，因此土壤毛管流速分布应服从下列关系式，即：

式中：v＝kh，v0＝ks／（θs－θr）。

对于易混置换过程，饱和土柱上任意距离x，土壤溶质质量平衡方程可表示为：

式中：c（x，t）为任意一点溶质浓度；c0为示踪溶液浓度。

将式（5-16）变为：

式（5-15）显示了任意毛管流速与饱和度间关系，因此饱和度S可表示为：

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将式（5-17）代入式（5-18）得：

由于x＝tv，所以v＝x／t，因而有：

对于土壤溶质置换试验而言，x可看成试验土柱长度L，这样式（5-20）变为：

其中，tv0／L为相对孔隙体积数，并令B＝tv0／L，式（5-21）变为：

令D1＝n／［2＋（m＋1）n］B，D2＝［2＋（m＋1）n］／（2＋mn），式（5-22）变为：

式（5-22）和式（5-23）描述了溶质穿透曲线的毛管束模型。

上述理论是针对非吸附性溶质，对于吸附性溶质而言，如等温线性吸附方程可表示为：

其中，K为吸附系数，相应的土壤溶质穿透曲线表示为：

式中：ρ为土壤容重。

3．模型特点分析

在毛管束模型中包含有两个特征参数，即最小穿透体积数和形状系数，其中D1为最小体积数，D2为形状系数。因此毛管束模型对土壤溶质穿透曲线描述的准确程度取决这两个参数的准确性。而D1和D2是参数m和n的函数，其中n反映了土壤孔隙分布特征，而m是与土壤孔隙连接性有关。对于确定的土壤而言，n可以通过土壤水分特征曲线来确定，m一般认为是常数，在这里根据Mualem（1978）研究结果，取m＝－2，式（5-22）变为：

因而D1＝n／（2－n）B，D2＝（2－n）／（2－2n）。因此式（5-26）仅包含一个参数，可通过土壤水分特征曲线进行确定。为了分析参数B对土壤溶质穿透曲线的影响，将不同n所对应的c／c0点绘在图5-1上。由图5-1可知，最小穿透时间随着n的增加而增加，而达到最大相对浓度的体积数随n的增加而减小。土壤水分和溶质迁移的大量研究结果表明随着土壤质地由粗变细，则n由大变小，而最小穿透体积数也随质地由粗变细而逐渐减小。

图5-1　n对土壤溶质穿透曲线的影响

4．模型验证

四种土壤被用于对上述模型的检验，包括沙土、壤土和黏土。利用压力膜

测定了四种土壤的水分特征曲线，并利用Brooks-Corey模型对土壤水分特征曲线进行拟合，结果列在表5-1中。

表5-1　四种土壤水分特征曲线

利用传统方法测定了四种土壤的溶质穿透曲线，结果如图5-2所示。根据表5-1所列的n值，利用式（5-22）计算了土壤溶质穿透曲线，同样点绘在图5-2上。由实测和预测的土壤溶质穿透曲线可以看出，计算穿透曲线总体可以反映土壤溶质穿透曲线的特征，但存在明显差异。为了比较两者差异，计算了预测和测量的溶质穿透曲线间误差，相对误差显示在表5-2中。由表5-2可知，相对误差小于5%，说明模型精度可以满足实际应用。

图5-2　四种土壤溶质穿透曲线（点为标准值，线为计算值）

（a）土壤1；（b）土壤2；（c）土壤3；（d）土壤4

表5-2　计算相对误差