第五节　几何学

阿拉伯数学

第一节　综　述

阿拉伯数学是指7世纪伊斯兰教兴起后，崛起于阿拉伯半岛，建立在横跨亚、非、欧三洲的阿拉伯帝国统治下各民族所开创的数学。

通常所谓伊斯兰国家的数学或中亚细亚数学也是指阿拉伯数学。在伊斯兰国家里，科学文化的发展是许多民族的学者共同劳动的结果，数学也不例外。他们是波斯人、花拉子模人、塔吉克人、希腊人、叙利亚人、摩尔人、犹太人和阿拉伯人，等等。他们大都是伊斯兰教徒。讲到这一时期这一地区的数学，没有很恰当的词语来表述，由于当时的数学著作都是用阿拉伯文撰写的，一般就统称为阿拉伯数学。上述各民族的学者有时也统称为阿拉伯人。

公元6世纪以前，阿拉伯人过着游牧部落生活。当时阿拉伯半岛盛行多神崇拜，各部落间战争连绵不断。由于东西商路改道，社会经济日趋衰落，要求改变这种社会状况和实现政治统一，成为各部落的共同愿望。伊斯兰教的创始人默罕穆德(Mvhammad，约570—632)，出生于阿拉伯半岛麦加城的一个没落贵族家庭，早年曾随商队到过叙利亚等地，后来回到麦加城经商。公元610年，在麦加开始创传以信仰一神为中心的伊斯兰教。后因遭到多神教徒的反对和迫害，于公元622年秘密出走麦地那。他在那里组织了一个接受伊斯兰教的阿拉伯部落联盟，号召所有伊斯兰教徒——穆斯林，不分部落，都是兄弟，使各部落的人超越血缘的狭隘界限以共同的信仰为纽带团结起来。伊斯兰教就这样在阿拉伯半岛创立并迅速传播开去，成为团结阿拉伯人的一种力量。

阿拉伯部落统一后，形成了一个威势很大的军事力量。在“与异教斗争”的神圣口号下，迅速向东方和西方的富饶国家入侵，并在被征服的国家里普及了伊斯兰教。不到一个世纪，阿拉伯人就占领并统治了几乎整个比利牛斯半岛、所有地中海沿岸的非洲国家、近东地区、高加索和中亚细亚，形成了一个横跨欧、亚、非三洲的强大的阿拉伯帝国。我国历史上称之为大食国。由于哈利发政权的对立斗争，在8世纪中叶，大食国分裂为东大食和西大食。东大食的首都是巴格达，西大食的首都是科尔多瓦(Cordova)。

公元1000年到1300年之间，基督教十字军东侵，把穆斯林逐出圣地。13世纪初，成吉思汗率蒙古部队西征。13世纪中叶，成吉思汗之孙旭烈兀再次率兵西征，占领了原来阿拉伯哈利发在亚洲的所有领土，创立了伊儿汗国。蒙古人征服了这些伊斯兰国家后不久，他们自己也都皈依了伊斯兰教。到了14、15世纪，在中亚又出现了另一个蒙古帝国——帖木耳国。12世纪末，西班牙人推翻最后一个摩尔人的统治，阿拉伯人失去了他们在欧洲的立足点。

在阿拉伯帝国的统治下，被征服的民族很快转向伊斯兰教。同时，阿拉伯语很快成为各国通行的语言，在知识界成为学术交流的工具。这和中世纪西方各国把拉丁语作为通用语言一样。阿拉伯人和其它民族的人民共同创造了新的、别具一格的文化。当时欧洲正处在漫长的黑暗时期，阿拉伯世界的科学文化却后来居上，成为当时的人类科学文化中心之一。

8世纪中叶至9世纪初，出现了几位热心提倡科学的哈利发：曼苏尔(al-Mansur，712—775)，阿伦·赖世德(Hārūnar-Rashid，765—809)，马蒙(al-Mamun，786—833)等。在他们的大力支持和鼓励下，设立学校、图书馆和观象台。在东阿拉伯形成了以巴格达为首的学术中心。哈利发马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah)。这是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关，除用作翻译馆外，还起到科学院和公共图书馆的作用，它还附设一座天文台。在这里，大量的波斯、希腊和印度的古典著作被系统地译为阿拉伯文。哈利发还组织力量对这些著作进行广泛而深入的研究。就这样，东西方的文华精华被融合在一起，出现了一个学术繁荣时期。阿拉伯的数学研究就从这里开始。

从8世纪起，大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期。由于阿拉伯人能够控制或取得拜占庭帝国、埃及、叙利亚、波斯及印度诸国的人才和文化，所以他们得以接触几乎所有的古代重要著作。欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)、阿基米德(Archimedes，公元前287—前212)、阿波罗尼奥斯(Apollonius，约公元前262—前190)、海伦(Heron of Alexandria，约62年)、托勒密(Ptolemy，约100—约170)、丢番图(Diophantus，250)、以及婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)等著名学者的数学和天文学著作都被译成阿拉伯文。在翻译过程中，许多文献被重新校订、考证、勘误、增补和注释。这样一来，大量的古代科学遗产获得了新生。已经荒废了几个世纪的古代学者的著作又重新成为人们手头的教材。当古希腊的原著失传之后，这些阿拉伯文译本就成为后来欧洲人了解古希腊数学的主要来源，而许多古希腊时期的著作也正是通过它们的阿拉伯文译本才得以流传下来。

在上述漫长而有效的翻译时期之后，阿拉伯数学出现了一个创造性的活跃时期。阿拉伯人不仅继承了古典科学遗产，而且使之适合自己的特殊需要和思想方法。他们吸取和保存了希腊和印度数学的精华，加上他们自己的创造性劳动，建立起独具风格的阿拉伯数学。他们的贡献为世界数学宝库增添了光彩。

阿拉伯人引进了印度数字及其记数法，利用古代数学方法广泛地解决了一系列计算，特别是天文计算问题。他们的近似计算达到了很高的精确度。在代数学方面，他们建立了一元二次方程的一般解法，三次方程的几何解法，并把代数学明确地定义为“解方程的科学”。他们的工作为代数学的发展提供了方向。在三角学方面，他们引进了几种新的三角函数，建立了若干三角公式，制造了大量的三角函数表。更重要的是，三角学通过他们的工作开始脱离天文学而独立。阿拉伯人为证明欧几里得第五公设作过多次尝试，推进了平行线理论的研究。

阿拉伯的数学著作具有自己的风格。许多著作十分注意证明的论据，材料的系统安排和叙述的清晰性。大量书籍中都会见到具有东方民族特点的丰富有趣的例题和习题，这些问题往往具有十分新颖的实际内容。

第二节　算　术

阿拉伯人原来只有数词，没有数字。在征服埃及、叙利亚等国后不久，阿拉伯人就使用了希腊字母记数法。9世纪初，开始出现阿拉伯字母记数法。公元773年(另一说771年)，一位印度学者把印度天文学名著《悉檀多》(Siddhānta)带到阿拔斯王朝哈利发曼苏尔的宫廷中。不久，这部著作被译成阿拉伯文。印度数字、位值记数法和算术运算就这样传到阿拉伯国家。

大约在825年，花拉子米(Mohammed ibn Msal-Khowrizm，约783—约850)写了第一部阿拉伯语的算术书。关于花拉子米的传记材料，很少流传下来。现在只知道他是一个拜火教徒的后裔，早年在家乡花拉子米接受初等教育后到中亚细亚古城默夫继续深造。当时阿拔斯王朝哈利发哈伦·赖世德的儿子马蒙任东部地区的总督，住在默夫，他在那里召见过已经远近闻名的花拉子米。813年，马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后，花拉子米作为杰出的科学家被聘请去首都巴格达工作，并成为智慧馆学术工作的主要领导人之一。在此期间，花拉子米创作了许多重要的、举世闻名的科学著作，包括数学、天文学、地理和历史等许多领域。

花拉子米的算术著作只有译本流传下来。现在唯一能够见到的，是14世纪中叶翻译的拉丁文手稿，现保存在剑桥大学图书馆。译文没有标题，以“Dixit Algoritmi…”开头，中断在一个乘法例题之中。后来，这部译本就定名为“Algoritmi denumero indorum”，其中Algoritmi本来是花拉子米的拉丁文译名，可是被人们理解为印度的读数法，后来它竟演变成表示任何系统或计算程序的“算法”的专业术语algorithm。

花拉子米在他的著作中讲述了印度人利用九个数字和零号的记数法，阐明了十进位值制的原理，引进了零的记号——形似字母“O”的小圆圈。13世纪的欧洲普遍用“小圆圈”或称“暗码”(ciffra)表示零号。“暗码”这一术语一直使用到18世纪末。在15至16世纪，单词ciffra开始有表示数字0，1，2，…，9的符号的涵义，它来源于阿拉伯文as-sifr，后者是梵文中零的名称Snya即“空的”的译文。在欧洲中世纪，拉丁语单词nulle—“一无所有的”、“空的”——在一些欧洲语言中以不同形式表示零。

关于整数的四则运算，花拉子米着重讲述了加法如何进位和减法如何借位。他定义乘法为重复相加，除法为重复相减，并通过例子2326×214和4648÷324加以详细说明。所有运算都从最高位开始进行，乘除法必需记熟乘法表(即九九歌)，运算结果要用“弃9法”，有时也用“弃11法”进行验算。运算过程中要特别注意零的性质和零号的使用方法。

据原始资料记载，当时的算术运算，是在木板上撒上一些沙子或灰土，然后用削尖的木棍在沙土上画出数字来。这是由于当时的羊皮纸过于昂贵。对于较小的数字，工商业者用手指进行计算。是否利用了石子或任何形式的象征性的算盘，还无据可查。

花拉子米的算术著作问世后，许多阿拉伯算术书的作者都以它为依据。印度数字和十进位值制记数法也开始被人们接受。在不同地区出现了东阿拉伯数字(埃及、叙利亚、伊朗等国)和西阿拉伯数字(比利牛斯半岛)。

但是，十进位值制记数法在阿拉伯国家的普及经历了相当长的时期。在整个中世纪这种记数法也没有完全代替其它形式的记数法。许多人仍然使用“词句记数法"。例如，艾布瓦发的《算》和凯拉吉(al-Karaji，10世纪末)的《算术全书》都是十分重要的算术文献，这两本书中都没有使用新记数法。还有一些著作中同时使用两种记数法。一些历史学家推测，在当时可能存在两种相互排斥的学派：印度的和希腊的。新记数法虽然是从阿拉伯国家传入欧洲的，但在那里却很快地得到应用和巩固。而欧洲人还把这种从阿拉伯国家传入的印度数字称为“阿拉伯数字”。

花拉子米的算术著作中专门讲述了分数理论。拉丁语“分数”一词fractiones是阿拉伯语“拆开”的译文。由此在欧洲语言中产生了不同的表示法：法语——nombre rompu，表示“拉断的数”；中世纪俄语——ломаное、число，意为“破碎的数”；英文为fraction，德语为Bruch、等等。

花拉子米把分数分为“能读的”和“不能读的”，这明显地表现出阿拉伯语中有单词与之对应，它们的词根来源于相应的整数。其它分数称为“不能读的”，用两个以上的复合词来表示。分数的表示方法是分子在上，分母在下，如果是带分数，则整数部分又在分数部分之上，列成古代中国用算筹表示分数的方法完全一致。一些科学史家推测，这种分数的表示法是由中国经印度传入阿拉伯国家的。

分数进行运算时，首先要化为单分子分数，然后再通分进行各种运算。这个例子表明，阿拉伯数学家无疑掌握了把一般分数化为单分子分数的方法。

花拉子米的算术书传到欧洲后，对西欧数学的发展产生了显著的影响。出现了一批直接受其影响的算术著作，这些著作又从拉丁文译成多种文字，通行了几个世纪。在欧洲中世纪，花拉子米的名字已成为新算术的代名词。

艾布瓦法(Ab’l-wef)是10世纪著名的数学家和天文学家，公元940年生于霍拉桑(Khorasan)的布山(Buzshan)，998年卒于巴格达。他曾翻译并注释了丢番图的著作，并著有三角学、算术、几何学和实用天文学等方面的著作。他的《算术应用书》的全称为《抄写员、生意人及应用算术的其他人员必读之书》，写于961—976年间。书中记叙了各种各样的实用算术问题：商业交易、征税、度量衡、不同品种口粮的交换、钱币对换、部队口粮和薪金的分配、房屋和堤坝修建中的计算等。

《算术应用书》的第二章，详细地讲解了分数运算。艾布瓦法把分数看作两个数的比。指出，两个数相比较的度量称为比，它具有三种形式：小比大、大比小、相等的数之比。他特别把小比大的形式称为分数。他的这种观念实际上是沿用了欧几里得关于分数的提法。《几何原本》第七卷定义三指出，一个较小的数与一个较大的数相比，等于“一份”西定义分数为“视某整数为一整体的量"，也是同出一辙。

艾布瓦法讲述了分数的一般运算法则及其化简之后，以相当大的篇幅来讨论用分数单位表示一般分数的方法。还给出近似表示法和最佳表示法。

艾布瓦法所给出的这种表示法在阿拉伯的广大领土上被应用于各种实际问题。

在阿拉伯数学中还出现了用假位法(rule of false posi-tion，правилоложногоположения)非代数地求解某些代数问题的记载。假位法有单设法和双设法之分。所谓单设法，即假设一数为所求数，根据问题的条件求得一个结果，称为假结果。因为假结果与真结果之比等于假设数与所求数之比，故可依比例式求出所要求的数。这种单设法在艾布卡米尔(A būKāmil)的《代数书》中出现过。

所谓双设法，即中国古代的一种比较著名的算法——盈不足术。在花拉子米的算术著作中就出现过这类用算术方法解一次方程的问题。他首先给出未知数的一个假定值，然后再给定另一个假定值，并为每一个值算出误差，再根据所得的答案和算出的误差，得出求知数的真值。

15世纪上半叶，乌兹别克政治家和学者兀鲁伯(UlughBeg，1394—1449)在撒马尔罕建立了著名的天文台。在这个天文台工作的卡西(al-Kāshī，?—1429)，是由兀鲁伯请来的一位伊朗数学家。他写出了大量的数学和天文学著作，其中最重要的是《算术之钥》(Miftāh al-hisāb)和《圆周论》(Risālaal-muhītīyya)。

卡西的重要贡献之一是引进了十进制分数。在他的写于1426年的《圆周论》中，第一次出现十进制分数。在这部著作里，他把圆周长和直径的比不仅用六十进制分数表示，而且用十进制分数表示，同时说明了十进制分数如何进行乘法和除法运算。

卡西在《算术之钥》里，详细地叙述了十进制分数的理论，并指出把六十进制分数化为十进制分数的方法。他的著作比较通俗，很易于理解。他自己写道，用十进制分数表示圆的周长与直径之比，目的是为了使“不懂得天文学家用六十进制分数计算的人能够掌握十进制分数。”卡西在引进十进制分数之后，十分注意用四舍五入的方法简化计算，略去计算中没有意义的数位。

在《算术之钥》里有任意自然数幂的二次展开式。卡西为了把数开任意次方而运用这种分解。在这部著作中，还出现了计算任意次根的近似公式。他的前辈只有计算平方根的近似公式。

在《算术之钥》里，卡西还给出了许多不同类型的有趣题目。例如：

1.我们想求出这样的数，把它加倍，再加上1，把和乘以3再加上2，然后乘4，再加3，得到95。

卡西对这个题目作了三种解法：代数解法，即用花拉子米“还原与对消”的方法解方程；其次是逆推法。最后用双设法求解。

2.人们走进花园，第一个人摘下一个石榴，第二个人摘二个，第三个人摘三个，以此类推，即给每一个人增加一个。当所有的石榴刚好摘完后平均分配，每人得到六个石榴。请问人数是多少?

3.有两棵棕榈树垂直于地面，其中一棵高20肘，另一棵高25肘，这两棵树之间的距离是60肘。它们之间有一条河或水池。在每一棵棕榈树上停留一只鸟，它们看见水中有一条鱼，于是都向着鱼的方向用相同的速度沿直线飞去，同时获得了鱼。它们飞行相遇在两树根之间的直线上。我们想要求出：每一只鸟飞行了多少时间，以及它们原来的地点与相遇地点之间的距离，也就是鱼的所在地与每棵树根之间的距离。

第三节　代数学

公元820年，花拉子米写了一本《代数学》。它的阿拉伯文书名是《ilm al-jabr wa’lmuqabalah》。比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的al-jabr脱胎而来。al-jabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡。muqabalah意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项。书名直译应为《还原与对消的科学》。al-jabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称。这一名称的起源完全符合代数学本身的特点。代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则。花拉子米正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓。

《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理。它的条理清楚、通俗易懂。正象花拉子米在序言中所说：“在这本小小的著作里，我所选取的材料是数学中最容易和最有用途的。是人们在处理下列事物中经常需要的：在继承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等各种场合中，……”《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题。

在第一部分里，花拉子米系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法。这些方程由下列三种量构成：根、平方、数。根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项。《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号。为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：

1.平方等于根　ax2=bx

2.平方等于数　ax2=c

3.根等于数　ax=c

4.平方和根等于数　ax2+bx=c

5.平方和数等于根　ax2+c=bx

6.根和数等于平方　bx+c=ax2

《代数学》的前六章，依次讨论了上述六种类型方程的解法。例如，第四章有这样一个问题：“一个平方数及其根的十倍等于三十九”。此问题即方程

x2+10x=39。

花拉子米把求解过程叙述为：“取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三。这就是根。”

在第五章，花拉子米求出了方程x2+21=10x的两个正根，这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负。

以上六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形。作者的讲解是如此地详尽和系统，使读者很容易掌握其解法。在这种意义上，花拉子米后来被冠以“代数学之父”的称号。

从第七章开始，花拉子米转向方程的根的几何证明。

花拉子米的几何证明明显地受希腊几何学的影响，许多证明都可以在欧几里得《几何原本》的第Ⅱ篇中找到原型。

花拉子米之后，埃及学者艾布卡米尔(A būKāmil，约850—约930)首先继承了他的代数学并使之发扬光大。关于艾布卡米尔的生平，现在知道得很少。据有关传记材料记载，艾布卡米尔是伊斯兰文化全盛时期(9世纪中至11世纪)著名的数学家。他在算术、代数和实用几何方面都有很大贡献。

艾布卡米尔的一些数学手稿和译文已经保存下来，其中最重要的一部论著是大约写于公元900年的《代数书》(Kitab fi al-jabr wa’l-muqabala)。《代数书》问世后，在很长时间内被广泛利用，在传入西方各国之后产生很大影响，因此在数学史界被认为是艾布卡米尔硕果仅存的著作。

《代数书》主要讨论二次方程。艾布卡米尔继承了花拉子米关于二次方程的理论，并使之得到进一步的发展。书中有大量题目出自花拉子米的《代数学》。此外，艾布卡米尔还用相当大的篇幅研究那些不同类型的方程并给出多种解法。花拉子米的《代数学》中列举了40个问题，而艾布卡米尔的《代数书》中共有69个问题。

艾布卡米尔是第一个随意使用未知数的高次幂的伊斯兰数学家。在他的著作中，出现了直至x8的各次方幂(x7除外)。他称x3为“立方”，称x4为“平方平方”，称x5为“平方平方，根”，x6——“立方立方”，x8——“平方平方平方平方”。事实上，艾布卡米尔对这些方幂所采用的名称是按指数相加的原则施行的。

在《代数书》中，艾布卡米尔用大量篇幅阐述了代数运算法则。包括单项式、二项式及其它各种形式的代数运算。他还提出了求两个二次根式的和与差的一般运算法则。

有趣的是，这些公式又多次出现在后世数学家的著作中。例如，在11世纪阿拉伯数学家凯拉吉，印度12世纪数学家婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114—1185)，以及意大利著名数学家斐波那契(L.Fibonacci’约1170—约1240以后)的书中都出现了完全一样的公式。

艾布卡米尔不仅专门讨论了二次根式的运算法则，而且把这些结果运用到二次方程的理论中去。他所列举的方程，不仅根可以是无理数，而且方程的系数也可以是二次根式。他这样毫无顾忌地使用无理数，在花拉子米之后是绝无仅有的。正因为出现了无理数系数，而使解题过程十分复杂，艾布卡米尔也不得不放弃几何证明。《代数书》中，出现了许多十分高超的解题技巧和复杂的运算过程。

艾布卡米尔的代数著作在两个方面比花拉子米的《代数学》有明显的进步。一方面，理论水平有所提高。如前所述，艾布卡米尔不仅对各类方程的解法都指出其任意性，而且还十分注意用代数恒等式来化简方程，他还特别指出了代数恒等式的普遍意义。另一方面，艾布卡米尔的代数学更具有一般性。他引进了大量的繁琐的代数运算(也用文字叙述)，在具无理数系数的方程中，已放弃了几何解法，这无疑是一大进步。

艾布卡米尔的《代数书》问世后产生了重要的影响。传入欧洲后对宣传花拉子米的代数学起到很大作用。它的部分内容还被斐波那契收入其《实用几何》(Practica geometriae’1220)中，这是一部专门讨论代数在几何中的应用的著作。

继花拉子米、艾布卡米尔之后，另一个对代数学有重要贡献的是11世纪巴格达的学者凯拉吉(al-Karajī卒于1019—1029年间)。

凯拉吉以两部数学著作闻名于世。一本是《算术全书》(hisāb al-jummal)，其中有关代数学的章节可以认为是他写于1010年的内容极其丰富的代数著作的序篇。这部代数书的书名是《发赫里》(ал-Фахри，al-Fakhr)。根据凯拉吉的自述，他在写这本书的过程中，忍受着苛政与暴力的干预，久久未能完成。后来遇到一位有远见的执政者——发赫里(Fakhr al-Mulk)，他是学术的庇护者。在他的支持下凯拉吉才写完了这本书。为了纪念这位恩主，就以他的名字来命名这本书。

《发赫里》包括卷头语和两大部分。在卷头语中，凯拉吉阐明了借助于已知量求未知量是代数学这门学科的宗旨。并指出，具有一般性的代数运算法则是求未知量的有力工具。这就进一步明确了解方程是代数学的基本课题。

11世纪，阿拉伯学者已经熟悉了丢番图的《算术》书。凯拉吉在《发赫里》中大量地引用《算术》书的内容，他不仅把先辈们关于二次方程的理论网罗殆尽，而且无论在理论还是应用方面都出现了一系列新内容。他引进的代数运算比艾布卡米尔的更丰富、更系统，他所选用的习题比花拉子米甚至丢番图的更多样化。特别引人注意的是，凯拉吉系统地研究了含有三项式的由未知数的任意次幂及其平方所组成的方程，如

其中a，b，c都是正数。这类方程原则上都能化为二次方程，卡拉吉分别以4次、6次和7次方程为例说明求x n的方法。当然，零解他没有考虑在内。为了求出上述各方程的根，凯拉吉还给出了开任意n次方根的方法。

在凯拉吉的著作中，可以发现大量的来源于印度和希腊的材料，也有相当多的内容体现了伊斯兰各民族古老的文化传统。总之，《发赫里》一书由三种文化汇合而成，我们还很难估计出各种文化所占的比例。

作为方程学说的代数学，它的发展在波斯数学家奥马海亚姆的著作中达到了新的高度。他在自己的代数著作中，明确地把代数学定义为解方程的科学：“代数学是一门有技巧的科学，它的研究对象是纯粹的数(正有理数)和可度量的量(指几何上的各种量：线、面、体等)。虽然这些数和量是未知的，但可以通过已知的‘东西’来确定它们。精通这门科学在于掌握确定算术的和几何的未知量的方法。”奥马海亚姆的这种定义，直到十九世纪末都保持着它的意义。

在阿拉伯的代数学文献中，还有大量的不定方程问题。例如，艾布卡米尔就写过专门论述线性不定方程整数解的著作——《算术技术珍品》。

有三种情形：唯一，无解，多组解。对每一种情形他都给出了具体的例子。

值得注意的是，艾布卡米尔所举的6个例子都以中国古代算书《张丘建算经》中“百鸡问题”的形式出现。印度9世纪的数学家也曾研究过“百鸡问题”，因此，人们猜测，“百鸡问题”是从中国经印度传入阿拉伯国家的。

阿拉伯代数学也有很大的局限性。首先，阿拉伯人没有引进负数(艾布瓦法的著作中出现了唯一的例外)。为了避免负数，他们对方程进行了细致的分类。解方程过程中，放弃了负根和零根。其次，阿拉伯人没有使用字母或缩写符号，他们的代数著作完全用文字叙述。这两方面都比印度人倒退了一步。

第四节　三角学

三角学在阿拉伯数学中占有重要地位。它的产生与发展和天文学有密切关系。三角学的发展也推动了其它数学分支特别是各种近似计算方法的发展。

在阿拉伯人所掌握的科学遗产中，与三角学有关的著作有印度天文学名著《悉檀多》、托勒密的《天文集》(Almagest)和门纳劳斯(Menelaus of A1exandria，约100年)的《球面论》(Sphaerica)。这三种著名文献是阿拉伯三角学发展的基础。

亚历山大的天文学家只引进一个三角量——弧的弦。希腊人的弦表是以托勒密定理(等价于两角和的正弦定理)和半弧的弦之定理为基础的。门纳劳斯关于完全四边形的定理更适合于解球面三角形。印度人则以半弦代替全弦，引入了正弦线和正矢线，制造了正弦表。阿拉伯的数学家们在这些工作的基础上引进了新的三角量，揭示了这些三角量的性质及其关系，给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了一系列三角函数表。他们的三角计算水平达到了很高的精确度。三角学通过阿拉伯数学家的工作逐渐地从天文学中分划出来发展成为一门独立的学科。

土库曼学者哈巴士(Habash al-Hasib，约卒于870)与花拉子米是同时代人。他长期在巴格达智慧馆工作，是巴格达天文台的成员。他写了很多关于天文学的论文并编制了许多积尺(Zij，即天文表)：《小型阿什—沙赫积尺》，《大马士革积尺》，《马蒙积尺》，《论星盘的效用》，《论密切圆》，《论距离和物体》等。他还是一位出色的数学家。

哈巴士最早把正切和余切作为直角三角形两个直角边的比提出来。他利用日晷仪确定了正切和余切的值。当日晷垂直放置时，他取h=1，则h的影长t=h·ctgα=ctgα。

类似地，当日晷水平放置时，取h=1，则其影长)τ=htgα=tgα。

他制造了当确定太阳高度的角α=1°，2°，3°，…时两种影长的表，即正切表和余切表。哈巴士称余切为“直阴影”，称正切为“反阴影”。它们被译成拉丁文成为“umbra recta”和“umbra varsa”。16世纪末，“直阴影”变成“余切”，“反阴影”变成“正切”。

哈巴士还计算出太阳高度α、偏差角δ和黄道倾斜角ε之间的关系sinα=tgδ·ctgε。他还利用直角日晷制造了一个相差1°的余割表。

在三角学方面有重大贡献的巴塔尼(al-Battani，858—929)是两河流域巴坦地方的人。他是著名的天文学家，积40年实测的经验(878—918)，著《星的科学》(De Scientia Stel-larum)一书，定出较精密的黄赤交角及岁差的值，又测得地球远日点的运动。后来哥白尼《天体运行论》还多处引用巴塔尼的实测数值。

巴塔尼受印度人的影响，采用半弦代替托勒密的全弦。在运算和命题方面，他常采用代数方法，从三角线出发，他得到了下列关系：

他还发现了重要的球面三角余弦定理

cosa=cosb·cosc+sinb·sinc·cos A。

巴塔尼研究了各种斜三角形的解法。他的基本方法是作出某一个边上的高之后，把问题转化为求直角三角形的解。他并不知道正弦定理和余弦定理，虽然他也研究出余弦定理的结果，但只是作为一个习题，没有认识到它的普遍意义。几百年之后，卡西给出了余弦定理的下述形式：

a2=(b+c cos A)2+c2 sin2 A。

另一个三角学者是艾布瓦法。他的贡献在于把所有三角函数线都定义在同一个圆上。正切、余切作为圆的切线段被引入，这样他第一次把正切函数，余切函数作为独立的函数而不是正弦和余弦之比提出来。他还首次引进正割和余割，可惜这些新的函数没有引起当代人的注意。

艾布瓦法从亚历山大的赛翁(Theon，约390)所注释的托勒密《天文集》中得到某种启示，用一种插值法编制了每隔半度的正弦表，达到相当高的精确度。

比鲁尼(al-Biruni，973—1048)生于花拉子模城郊区比伦(Bīrūn)，卒于阿富汗的甘孜那(Ghazna)。他是伊斯兰最富于创造性的学者之一，对哲学、历史和自然科学的许多方面都有贡献，而以数学和天文学的成就最大。主要著作有《古代诸国年代表》(Chronology)、《马苏蒂天文典》(Al-Qānūnu’l-Mas’ūdī)和《占星学基础》等。他曾在哈利发马蒙二世所建立的科学院工作，后来长期旅居印度。他精通梵文并研究了十分丰富的印度数学和天文学资料，为沟通印度文化和阿拉伯文化起过重要作用。

《马苏蒂天文典》是比鲁尼为他的保护人马苏蒂写的一部天文学百科全书，内容包括三角学、天文学、计时学和数理地理学。这部11卷集的著作在三角学发展史上十分重要。它的第3卷是三角学，由10章组成。第1章计算了圆内接正三角形，正方形，正五边、六边、八边和十边形的边长；第2章证明了与两角和、两角差、倍角和半角的正弦公式等价的弦的定理；第3章里，比鲁尼借助于三次方程和某种迭代过程作出了圆内接正九边形；第4章讨论更一般的三等分角问题，他利用内嵌物和类似的技巧给出了三等分角的12种方法；第5章计算了圆周率的值；第6章是一个正弦表；第7章叙述了这个表的使用法则；第8章研究了正切和余切函数，并给出一个正切表，说明了插值法，还证明了平面三角学的正弦定理；第9章和第10章讨论了球面三角学，特别证明了球面三角学的正弦定理。

独立于天文学而详尽地论述三角学的第一部著作是由土斯人纳西尔丁完成的。纳西尔丁(Nasr-Eddin，1201—1274)生于13世纪伊斯兰最大的文化中心霍拉桑(Khorasan)，是著名学者伊本·尤诺斯(Ibn Junos，?—1008)的学生。他是一个很全面的学者，著有三角、天文、几何、星盘等方面的著作。1259年，他在马拉盖(Maraghen)组织建造了一座巨大的天文台。在那里，纳西尔丁领导了一批杰出的科学家，收集了来自不同地区的珍贵数学手稿。他领导的天文台作了大量的实测工作，当时所编的《伊儿汗历》有很大影响。

纳西尔丁所著《论完全四边形》(Kashf al-qinā’fī asrārshakl al-qītā’)从根本上把三角学推进了一步，它使三角学开始脱离天文学而成为数学的独立分支。其第1卷论述比例理论。第2卷研究了平面完全四边形的有关问题。纳西尔丁详尽地讨论了所有各种样式的这类图形，以及关于它们的各种不同的证明。

第3卷叙述了平面圆上的三角函数之比。纳西尔丁定义了弧的正弦，还证明了有同一个端点的两个弧的正弦之比，等于联结两弧其它两端点的弦被过共同端点的直径所分成的线段之比，即对于弧AB和AC。借助于这个定理，就可以解决由两个弧的正弦和或差来求两个弧的问题。

《论完全四边形》的第4卷是关于球面完全四边形的理论。还证得了类似的关于比例的定理，与相应的平面定理的不同之处只在于：在球面上是用弧的正弦之比来代替线段之比。

第5卷，也是最后一卷，是关于按照边或角以及三角形的解法来对球面三角形进行分类的论述。对三角形的分类，纳西尔丁是按照它的角是锐角、直角或钝角，以及它的边是小于、等于或大于圆周的四分之一来进行的。同时，还确定了若按角来分类三角形属于何种类型，则若按边来进行分类时，它也属于相应的类型中，反之亦然。其后，纳西尔丁又引入了弧的余弦，弧的正切，弧的余切，弧的正矢和弧的余矢等概念。

关于球面三角形的解法，纳西尔丁证明了正弦和余弦定理。事实上，他的先驱者艾布瓦法和比鲁尼等早已作出了这些定理的证明，但纳西尔丁则是借助于完全四边形的定理给出了这些定理的极简单的证明。

纳西尔丁所叙述的球面三角形的一切解法，都可以归结成为两种情形：即按三个边或按三个角来求解非直角三角形。利用极三角形来求解球面三角形，在他之前还未曾有过，这正是纳西尔丁的主要贡献之一。

在三角学发展史上，《论完全四边形》具有特殊重要的地位。可惜欧洲人直到1450年左右才知道纳西尔丁的工作。数学史家苏特(H.Suter)曾感慨地说：“假如十五世纪欧洲的三角学者早知道他们(指阿拉伯人)的研究，不知还有没有插足的余地?”

第五节　几何学

阿拉伯几何学主要受欧几里得、阿基米德和希罗(Heron)的影响。

艾布瓦法在他的《几何作图法》(Kjtāb fīmāyahtajilayh al-snij’min al-a’mal al-handasiyya)中，研究了用直尺和固定角规作图的问题，给出抛物线作法及各种圆内接正多边形的作法，还研究了某些等积问题。

巴格达的塔比伊本库拉(Tbit ibn Qorra，836—901)是一个很全面的学者。除了研究数学之外，他还是医生、哲学家、天文学家和物理学家。他翻译了欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯和托勒密的著作。他还研究数系，预见了实数系的建立。还推广了阿基米德的积分思想，计算了椭圆积分的特殊情形。在他的著作里还发现有关毕达哥拉斯定理的独特的直观证明。塔比伊本库拉是中世纪首先研究平行线理论的学者。他的几何著作很富于启发性，他对欧几里得第五公设的研究对后世非欧几何的诞生有一定影响。

奥马海亚姆也曾为《几何原本》中某些公设作出注释，他的著作《对欧几里得几何原本中困难公设的注释》(Sharh māashkala min musādarat kitab Uqlidis)流传至今，一直影响到很晚以后的东方数学。继奥马海亚姆之后，纳西尔丁对平行线理论作出了重要的推进。他的两种附有增补和注释的《几何原本》的译本流传到现在。第一种版本包括《原本》译文共13卷，第二种包括15卷。第一种版本是在1594年在罗马以阿拉伯文字发行的，1657年还出版了它的拉丁文本(但不完整)。英国数学家沃利斯(J.Wallis，1616—1703)和意大利数学家萨凯里(G.Saccheri，1667—1733)都很熟悉这些版本。在这些版本中，纳西尔丁为证明欧几里得第五公设作出了尝试。沃利斯在17世纪把他的证明译成拉丁文，并称之为“现有论证中最机智的论证”。纳西尔丁的工作是非欧几何最重要的先驱性工作。

首先，纳西尔丁不加证明就采用了下面两个预备定理：

(1)若AB，CD是如下的两条直线，由AB上各点向CD作垂线EF，GH，KL，它们和AB都交成不相等的两个角，假如与向着B的方向上的边所成的各角都是锐角而与向着A的方向的边都形成了钝角，那么直线AB和CD虽然现在还没有相交，但它们在锐角的方向上逐渐地靠近，而在钝角的方向上则逐渐地分离开来。也就是说，这些垂线在向着B，D的方向上是逐渐缩短的，而在A，C的方向上则逐渐增长。

(2)反过来说，假如被引用的是这样一些垂线，它们在B，D的方向上逐渐缩短，而在靠近A和C的方向上逐渐增长，亦即直线AB和CD在靠近B，D的方向上逐渐接近，而在相反的方向上则逐渐分离开来，那么每条垂线都和AB直线形成两个角，一个是锐角，一个是钝角；这时，所有的锐角都向着B，D，而钝角都向着相反的方向。

这两个预备定理并不依赖于欧几里得第五公设。纳西尔丁利用上述两个预备定理证明了如下第三个预备定理：

(3)假如从直线AB的两端引两条垂线AC和BD，并截取相等的线段AC和BD，则角ACD和BDC均为直角。

借助于预备定理3，纳西尔丁毫无困难地就证明了第五公设。事实上，这一预备定理又和三角形内角和等于二直角这一定理等价，预备定理3并不和第五公设等价，而是比它更强些，因为第五公设只排除罗巴切夫斯基的非欧几何学，而预备定理3却可以同时排除罗巴切夫斯基的非欧几何学和黎曼的非欧几何学。

纳西尔丁采用如下的公设代替第五公设：

“同一个平面上的若干直线，若在一个方向上是分离开来的，那么它们在这个方向上就不会靠拢。”

这一公设仍旧排除两种几何，即比第五公设有力。

在证明预备定理3时，纳西尔丁还证明了以下与第五公设等价的命题：

(1)垂线与斜线必然相交。

(2)直角内的一点永远可以引一直线与该角的两个边相交。

阿拉伯的许多学者都曾研究并计算过圆的周长和直径之比——π的值。但长期以来未能超过希腊人和中国人所达到的精确度。

关于π的异常精采的计算由卡西在他的代表作《圆周论》中给出。这部著作是近似计算的优秀代表作。不仅计算结果有17位准确数字，而且对误差的估计十分精美和简单。

奥马海亚姆(Omar Khayyam，约1048—约1131)发明的三次方程的几何解法是中世纪阿拉伯数学中最卓越的成就之一，他生于霍拉桑州尼沙普尔。早年在故乡和巴尔赫受过广泛的科学和哲学的教育后去撒马尔罕，在那里完成了他的重要数学论著。后来塞尔柱王朝的苏丹请他去进行修改历法所需的天文观测，并共同创造了哲拉里历。这位才华横溢的学者精通哲学、法学、历史、数学、天文学和药学，但留存至今的作品甚少。

海亚姆还从祖先那里继承了对诗歌的爱好，他的《四行诗集》在19世纪以后被译成多种文字。因此，海亚姆还以一位伟大的诗人闻名于世。

海亚姆在算术、代数、几何等方面都有重要贡献。他最重要的数学著作是《代数问题的证明》(Risāla fi’lbarāhin’alāmasā’il al-jabr wa’l-muqābala)，除了它的阿拉伯文手稿和拉丁文译本外，近代还被译成多种文字。在这部著作中，海亚姆独出心裁地提出了解三次方程的几何方法。

海亚姆还正确地指出此方程只有唯一的正根。

海亚姆的代数著作中共列出14种典型的三次方程。对每种方程，他都适当地选择两种圆锥曲线，用类似上述的方法求出方程的几何解。深入研究他的方法，人们发现海亚姆所选择的曲线还遵循着一定的规律，这也正是他的方法的巧妙之处。

一些科学史家认为，海亚姆解三次方程的几何方法是笛卡儿解析几何学的先驱性工作。如果把海亚姆的工作与笛卡儿的《几何学》进行比较，不难发现，海亚姆的具有一般性的方法与解析几何学的思想是同源的。他的工作预示了新数学的发展方向。

10—11世纪伊拉克学者伊本海塞姆(al-Hasan ibn al-Haytham，约965—1039)曾计算抛物弓形分别绕弦、顶点切线或任意直径旋转所得旋转体之体积。他的工作推进了阿基米德的方法，从本质上是应用了无穷小分析的方法。

为了求出这些旋转体的体积，伊本海塞姆建立了自然数1至4次幂的求和公式。

公式后来在卡西的《算术之钥》中以不同形式给出。伊本海塞姆在估计误差时还引出了不等式。