No.74 谁为小镇的理发师刮胡子？

No.74 谁为小镇的理发师刮胡子？

罗素悖论

1.多维度看全

如果你修读过数学课程，那你可能听说过集合论，因为大多数数学对象（数字、函数、关系等）实际上都是根据集合来定义的。朴素集合论（Naive Set Theory，NST）是集合论的一种。朴素集合论中有一条公理为从属关系（x是集合A中的一个元素，则x ∈ A，例如“理发师是小镇上不给自己刮胡子的人群中的一员”）。常见的数学集合包括实数（数轴上的数值）、自然数（0、1、2、3等）和整数（不含分数成分的数字）等。然而，在朴素集合论出现后不久，英国数学家兼哲学家伯特兰·罗素（1872—1970）表示，在与从属关系有关的基本定理中，存在致命的缺陷。考虑上述提及的理发师，他是“小镇上不给自己刮胡子的人群中的一员”。理发师会给自己刮胡子吗？（为简明起见，我们假设这里的理发师是男性。）

2.关键点梳理

对理发师刮胡子问题的回答，引发了朴素集合论中的一个悖论，即一个物体是由包含已被定义的该物体在内的同类物体来定义的。这就导致了一个逻辑矛盾。理发师不能为自己刮胡子，因为他只为那些不给自己刮胡子的人刮胡子。如果他为自己刮胡子了，那么他就不再是一位理发师了！从另一方面而言，如果理发师不给自己刮胡子，那么他就是“小镇上不给自己刮胡子的人群中的一员”，因此，作为理发师，他必须给自己刮胡子！这个悖论被称为理发师悖论；然而，朴素集合论创建所有不包含自身元素的集合而产生的根本问题，就是著名的罗素悖论。

3.一分钟记忆

因朴素集合论创建所有不包含自身元素的集合而产生的逻辑矛盾被称为罗素悖论。