4.4.1 采动覆岩裂隙分形维数与熵的计算
裂隙介质、剪切裂隙或断层岩体广泛存在于自然界中。裂隙对岩体的力学和水力特性起着主导作用，是岩体不连续性、各向异性和非均质性的决定因素。地下煤层开采时，会导致岩体结构面、岩体内应力重新分布，在采动岩体中形成纵横交错的裂隙网络。采动岩体裂隙网络的分布影响着岩体的力学行为，在一定程度上控制着上覆岩层的稳定性。虽然测量岩体介质中的孔隙度和确定无裂隙岩体的非均质性相对容易，但是，对岩体裂隙系统以及含有基质和裂隙的整个岩体进行定量测量和表征是困难的。通常，裂隙嵌入多孔介质中，对渗流特性的影响很小，随机分布的裂隙控制着介质的渗流特性。随机分布的裂隙往往连接成不规则网络，裂隙网络的渗流特性对矿井突水溃砂安全开采等都有重要影响。
深入了解裂隙表面的形貌对于更好地理解岩体裂隙机理，特别是局部失稳机理非常重要。岩体裂隙表面通常看起来很粗糙。一般来说，表征岩体裂隙表面粗糙度仅仅是一个几何问题。在过去的几十年里，人们一直致力于研究岩体。水流研究涉及分形几何应用于岩体裂隙面的量化。人们越来越重视岩体裂隙面的分形特征以及采动岩体裂隙的空间分布研究。岩体裂隙通常是随机的、无序的，具有统计上的自相似性和分形特征。许多学者发现，裂隙长度与数量的关系呈现幂律型、指数型和对数正态型。因此，为了分析裂隙岩体的结构特征性能，准确选择合适的裂隙结构特征参数来确定相应的岩体性质是很重要的。已经有许多方法来描述对象本质上的异质性。在这些方法中，分形几何学已被应用于许多领域，包括描述岩层或地质构造中的岩体的非均质性。在过去的二十年里，许多研究者对地层岩体和其他多孔介质的分形特性进行了研究。
分形维数作为表征自然现象复杂程度的指标，也可以用来描述岩体裂隙的表面形貌。许多方法，例如分形维数，计盒维数，光谱和变异函数等，已被提出估计岩体裂隙复杂程度的分形维数参数。但是，一维分析提供了一个不完整的，甚至有偏差的岩体裂隙面特征。因此，需要一个二维的定量描述。然而，以前还没有可接受的二维方法来评估岩体裂隙表面。因此，许多学者，甚至Mandelbrot，都认为粗糙表面的分形维数可以通过将从该表面的单个轮廓获得的分形维数相加1来获得。这种近似值可能非常接近裂隙面的真实分形维数。
因此，研究垮落带和裂隙带的裂隙网络分布及演化规律，对于认识采动岩体覆岩变形破坏规律，制定开采工作面防治水措施具有重要意义，这对评价采动岩体再生结构体系的强度和稳定性具有重要的理论研究价值。
采动裂隙场与水砂流动场的相互作用关系是我国采动覆岩突水溃砂防治的理论基础。在华北地区，大多数煤层的上覆基岩薄，基岩上部松散层往往还具有含水层，裂隙的产生就构成了水砂运移的通道。采动覆岩裂隙的产生、发育及其演化都具有很好的自相似性与分形特征，分形维数可以描述裂隙发育的长度占位空间。
通过前面图像处理以后，采集的裂隙图像转换为只有两种数值的二值化图像。采用盒子维法，通过网格覆盖统计计算图像的分形维数。而获得的图像又能转换为位图或者栅格图像，位图可以通过对图像进行矩阵运算，进而获得分形维数；或者通过在GIS软件中进行栅格数据调整进而通过线性回归获得分形维数。其计算流程图如图4-7所示，也可以通过多种方法结合计算求平均值以减小分形维数计算的误差。
在采动覆岩过程中，垮落带与裂隙带内的裂隙纵横交错，分布不均匀，裂隙发育具有无序性与随机性。信息熵可以描述信源的不确定度，因此可以分别用概率熵、模糊熵和混合熵来定量描述不确定信息的随机性、模糊性和复合不确定性[195]。Foody通过概率熵对遥感图像的不确定性进行了评价[196]。施斌等通过概率熵对黏性土颗粒的分布特征进行了研究[197]。根据采动覆岩裂隙发育的方向特征具有一定的概率特征，因此本书基于信息论与概率熵模型，定义了覆岩裂隙熵来描述裂隙发育的方向分布特征或裂隙系统的混乱以及无序化程度。在裂隙熵中，pi表示某裂隙出现的概率，首先对平面沿一个起始点，将平面沿一个点进行十等分，即在方向区间0°到180°内，每18°为一个区间，计算裂隙在方向区间的分布概率并对其归一化，即可获得裂隙熵的范围为[0，1]，如图4-8所示，由此定义Kf表示裂隙熵：(https://www.daowen.com)
图4-7 分形维数计算流程图
其中，pi为裂隙单元在某一方位中出现的密度或面积，m为总密度或面积，n为方位区间划分个数。
图4-8 裂隙熵计算流程图
