8.1 基于模糊数学的空间多准则决策研究
矿山工程有三个主要组成部分：描述岩体结构、应用工程地质和理解工程地质中的数据转换过程。注浆加固可以改善岩体的力学性能和结构的完整性，保持岩体整体结构，封闭岩体裂隙。注浆时，可防止岩体风化。近年来，我国煤矿多达250亿吨的煤炭储量受到洪涝灾害的威胁，超过50%的煤炭储量主要分布在华北石炭纪—二叠纪时期的煤田。寒武纪或奥陶纪灰岩含水层通常发现在煤矿的石炭纪—二叠纪地层底部。随着开采深度的增加，煤矿工作面面临着底板突水的威胁。在高压岩溶含水层附近对煤层进行开采时，一般采用两种方法，即促进排水以降低水压，或者采用注浆加固改变含水层的性质。但是，随着深度的增加，煤层排水方法不仅成本在增加，地下水也会受到影响。应用水泥浆阻止煤层底板突水和重建含水层是防止和控制在承压含水层上开采时从岩溶含水层涌水到煤层的有效方法。降低含水层渗透性和重建含水层的技术已逐渐成熟。减少突水事件的最直接方法是使用注浆，注浆将封闭岩体裂隙、断层和岩溶的水流通道，以降低渗透性或形成隔水层。本章案例将基于模糊数学的空间多准则决策模型对注浆前后高承压含水层上煤层开采底板突水危险性进行评价，以对比基于熵的空间多准则决策模型和基于模糊数学的空间多准则决策模型在工程应用中的优越性。
Zadeh于1965年首先提出了模糊集的概念[291]，模糊集是具有不同隶属度元素的集合。这一概念随后得到迅速发展和广泛应用。矿井底板突水作为评价对象，具有非线性动态特性。它受到许多复杂因素的影响，这些因素具有不确定性、随机性和模糊性。由于突水的模糊性（不确定性），用经典数学模型无法确定突水。利用基于模糊集的模糊综合评判方法，可构造评价对象各因素的隶属度。基于GIS和模糊集理论，可构建一种定量的方法用于评价突水危险性。
基于模糊数学的空间多准则决策模型步骤如下：
1）建立决策准则集合
决策准则集合包含了所有影响评价对象的准则或因素，例如水文地质、工程地质条件和开采条件等。决策准则集合定义为：U＝{u1，u2，…，ui}，其中ui（i＝1，2，…，n）是影响决策对象的第i项准则。
2）建立评价集合
评价集合包括所有可能出现的对评价对象的评价决策结果。评价集合可以定义为：V＝{v1，v2，…，vj}，其中vj（j＝1，2，…，n）是可能出现的评价结果。
3）计算权向量
在模糊综合决策中，每个准则对决策结果有不同程度的贡献，需要对其贡献程度进行定量化计算，然后获得权重集合：A＝（a1，a2，a3，…，ai），其中ai＞＞0，表示第i项准则的权重，并且∑ai＝1，ai（i＝1，2，…，n）。权向量的计算采用基于熵的多准则决策模型中权重的计算方法，基于信息熵来对权向量进行计算。
4）基于GIS建立单因素评价模糊关系矩阵
模糊逻辑本质的原理是将输入空间中的每个点映射到区间[0，1]的一个隶属度值，作为估值延伸的真实度可以更合理地定义。因此，对于区域性评价，基于GIS可以确定单因素的隶属度，得到单因素评价集：
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式中，i是指标集合中的元素数，rij是评价对象对vj评价集中元素的隶属度，j是评价集中的元素数。
Mandelbrot创造了“分形”一词，并确定了构成分形理论基础的四个组成部分，分形理论认为宇宙由不断适应环境的复杂系统组成，包括：关系、模式、涌现和迭代。这些不同的特征是用分形分析来衡量的，也就是说，分形特征被量化。图案尺度的变化通过一个称为分形维数的比率来表示。用分形维数定量地解释断裂作用分布的复杂性和构造演化的成熟度。断层空间分布的分形维数是断层维数与复合模式的综合因子。断层的分形结构特征与流体运移和构造活动有着重要的关系。本案例研究采用与前文类似的盒子维计算方法，对研究区断层构造的分形维数进行计算。
建立隶属函数的方法有很多，如模糊统计法和德尔菲法。隶属度函数的形式有：正态、三角模糊数、半梯形、梯形等。本研究首先基于GIS，利用绘图、网格生成和插值工具对专题地图进行量化，确定隶属度，为各个因子提供数据属性表，从而得到各因子的空间变异特征。然后，对各个准则专题图的分类和决策结果专题图的分类采用前文提出的基于熵的空间多准则决策模型中的自然间断法进行分类，从而获得各个分区临界值。最后，通过对各个准则专题图的分类，利用下式计算获得各个准则的隶属度：
式中，rij（x）是vj的隶属度，Sij是第j项准则专题图中的第j项分类区域。将各因素评价集的隶属度按行排列，单因素评价矩阵可表示为：
式中，n是评价集中的元素数，m是指标集中的元素数。
5）多准则模糊综合评价
多个因素的最终评价集可以定义为：B＝（b1，b2，…，bj）（j＝1，2，…n），B＝A*R，其中“*”表示模糊算子，bj是考虑多因素影响时，被评价对象对评价集中第j个可能评价结果的隶属度。根据最大隶属度原则确定被评价对象的风险等级，即被评价对象的隶属度对评价集中可能评价结果的综合程度，可以表示为：
首先定义Ai∈F（U）（i＝1，2，…，n），u0∈U，如果存在i0，那么
式中，u0可以相对属于Ai0，这就是最大隶属原则。
