7.1.1　广义帕累托分布（GPD）及其概率函数拟合

设X为独立同分布的随机变量，其累积概率函数为F（x），那么大于某一阈值u的随机变量X与阈值之差的累积概率函数为：

其中，0≤y≤r F-u，r F=inf{x：F（x）=1}≤∞为函数F（x）积分为1的右端点。对于大部分分布函数F（x），都可以找到函数σ（u）使得下式成立：

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Gξ，σ（y）为GPD函数，y=x-u，尺度参数σ＞0。当形状参数ξ≥0时，y≥0；当ξ＜0时，0≤y≤-σ/ξ。即：当阈值趋近于积分上限时，大于阈值的随机变量X与阈值之差的累积概率函数收敛于GPD函数。因此，大于某一阈值u的独立同分布的随机样本可以用GPD函数来拟合，分布参数可以用最大似然法估计。

根据GPD函数的定义，本章将大于阈值u的事件定义为极端事件。最大日降水量为某一年中最大的日降水量事件，可见日降水极端事件中包含最大日降水量事件，同理，最大月降水量为某一年中最大的月降水量事件，月降水极端事件中包含最大月降水量事件。