附录A　DEOF方法介绍

附录A　DEOF方法介绍

1.时间序列分析中的零假设

在时间序列分析中，常常基于一阶自回归过程估计序列的频谱。Hasselmann提出的随机气候模型，其最简单的形式就是一阶自回归过程，可以由以下微分方程定义：

式中：Φ为任意物理量；c damp为阻尼常数；f为白噪声。

物理量Φ间隔时间τ的自相关系数为：

其中t0=1/c damp。通过方程（A.2）可求得物理量Φ零假设谱分布的解析形式。在时间序列分析中，常常通过对比物理量Φ的频谱和拟合的零假设过程的频谱，来估计物理量Φ的时间变化特征。

2.气候模态的定义以及它们的局限性

经验正交函数（EOF）展开能够将多维随机变量的时间与空间变化分离开来，用尽量少的模态表达出变量场中主要的空间和时间变化，是气象和海洋资料分析的常用方法。它将资料场X（t）分解为k个固定的空间型πi，再加上误差ξ（t）：

其中，Π是由空间型πi构成的矩阵，φ（t）是时间系数矩阵，k一般远小于X的维度。一般几个主要的EOF模态被看作是物理过程或者遥相关型的反映。但是EOF方法得到的空间型与方法本身有很大关系，有研究认为EOF方法常常找不出气候资料中的遥相关型，气候资料中是否存在遥相关型并不清楚，怎样估计它们也不清楚。其根本的问题是需要确定一个准则，根据这个准则找出要素场的矩阵Π。换句话说，应该拟合一个零假设过程来代表要素场中背景噪声，找出与背景噪声相比最突出的空间型，该空间结构就是对要素场物理过程或者遥相关型的最佳估计，这就是DEOF方法的核心思想。

3.气候变率空间结构的随机零假设

分析时间序列时，常常拟合一阶自回归过程作为零假设，通过对比变量的频谱与拟合的自回归过程来研究变量的时间变化特征。这里引入扩散过程将一阶自回归模型拓展到二维空间：

式中：Φ为气候要素；t为时间；c damp为阻尼常数；c diffuse为扩散系数；f为时间和空间上的白噪声。

式（A.4）中引入的扩散过程只具有统计上的意义，用来表示要素场中两空间点的相关关系，两空间点的相关系数为：

式中：r为两点之间的距离；d 0为去相关长度。

若c damp和c diffuse均不随空间变化，那么式（A.4）表示的模型就是均匀外强迫f驱动的各向同性扩散过程，也是空间上的一阶自回归过程。那么要素Φ的协方差场为：

式中：σi为要素场Φ第i个空间点的标准差；d ij为第i和第j个空间点之间的距离。

式（A.4）和式（A.6）表示的各向同性扩散过程即为气候要素Φ空间特征的零假设。

有效空间自由度N eff表征多元变量在空间上的有效维度，是估计区域空间变率复杂程度的统计量：(https://www.daowen.com)

其中

∑ei=1

式中：ei为要素场EOF分析的特征值。

N eff与独立的空间模态数量相对应，可用来对去相关特征长度d 0进行初始估计。

4.各向同性扩散过程的拟合实例

根据式（A.5）和式（A.6）可以计算零假设过程的EOF特征值和特征向量。取σ=1，d 0=0.615（单位为经纬度），矩形区域为东经111°～122°、北纬31°～37°，区域空间一阶自回归过程EOF分析的前8个特征向量如图A.1所示，EOF分析解释方差如图A.2所示。

特征向量按照一定的规律分布。第1特征向量是以区域中心为圆心的单极子分布，第2特征向量是纬向的偶极子分布，而第3特征向量是经向的偶极子分布，依此类推。特征向量的形状与区域维度以及d 0都有关。

第1特征向量的中心位于区域中心，这是因为区域中心与区域内所有其他点的平均距离最短，因为与其他点的协方差最大。σ和d 0不随空间变化，则区域内所有点的统计特征都是一致的，第1特征向量主要受区域几何形状影响，它表示物理量变率不存在任何结构，仅仅反映了协方差随着距离衰减。

图A.1　区域空间一阶自回归过程EOF分析的前8个特征向量

在时间序列分析中，一阶自回归过程连续谱的谱系数并不是反映振荡特征，而是表示不同的时间尺度。这里空间上一阶自回归过程的特征向量并不表示变量场中存在任何遥相关型，而是表示不同的空间尺度。例如，第1特征向量的单极子分布反映了变量变率的最大空间尺度，与区域尺度相当；第2特征向量反映变量变率随着纬向变化的空间尺度，大致为区域纬向长度的1/2；第3特征向量则反映经向变化的空间尺度，依此类推。

图A.2　区域空间一阶自回归过程的EOF分析解释方差

5.要素场EOF空间型与零假设过程EOF空间型对比

将零假设过程EOF分析的特征向量投影到要素场EOF分析的特征向量上，就可以对比要素场EOF分析的特征向量、特征值与零假设过程EOF分析的特征向量以及特征值：

这里cij是这两个空间型的相关系数。由特征值和c ij可计算出特征向量对零假设过程的解释方差：

6.显著的（Distinct）EOFs

如果要素场主要的空间型与零假设过程的空间型有一定差异，那么选取要素场一定数量的空间模态进行正交旋转，使得它们的差异达到最大，那么旋转之后得到的空间模态可用来估计气候模型中的潜在物理过程或者遥相关型。即逐步进行正交旋转得到新的空间模态，它对原要素场的解释方差为，对零假设过程的解释方差为，一直旋转直到二者之间的差Δvar达到最大为止：

此时，称为显著的（distinct）EOFs（DEOFs），相应的时间系数称为DPCs，主要DEOF模态Δvar的显著性检验可参见相关的文献。