4.2.2 层次分析法实例及计算
【例4.2】某电厂拟用13万元在辽东湾某地建一个供水能力900万m3/年的水源地，有4个备选水源地，本区平均海侵宽度1.5km，其他基本数据见表4.3，要求做出水源地优选（鲍新华，1991）。
表4.3 基础数据表
（1）分析系统中各因素的关系，建立系统的递阶层次结构。对于决策问题，一般可把问题划分为目标层、约束层或准则层、方案层3个层次。如果问题包含的因素较多，还可以划出一些中间层或子层次，这样形成的递阶层次结构可使决策问题更清晰，从而使人们的思维条理化。建立问题的递阶层次结构模型是层次分析法的基础，对于复杂的问题，单凭主观的逻辑判断有时是难以得到一个比较合理的层次结构的，这时可以采用一定的数学方法来帮助建立层次结构模型。不同的人对同一问题所构造的模型也许有所不同，但若对问题的理解是相似的，则最终结果就会趋于一致。
通过问题分析，给出该问题的AHP结构图如图4.3所示。
图4.3 优选最佳水源地递阶层次结构模型
（2）对同一层次上各因素关于上一层次某一准则的重要性进行两两比较，构造两两比较判断矩阵。
层次分析法中的判别矩阵是正互反矩阵，对角线元素为1（自身比较为1）。
针对目标层，将B层4个因素采用1-9标度法（表4.4）两两比较，可以得到B-A判别矩阵见表4.5[总判断次数为n（n-1）/2次]。
表4.4 标度1-9的含义
表4.5 B-A判别矩阵
本例中，相对A 层目标，B各元素分析比较举例如下：
一般来说，水质水量并重。水量与水质相比具有“同等重要”性，取标度为1。
水量与投资费用相比，尽管投资费用针对目标层也是一重要因素，但在4个备选方案中，计划投资均能满足要求，故认为二者相比介于“稍微重要”和“明显重要”之间，取标度为4，相反为1/4。
水质与海侵影响比较，该区域海侵针对目标层也是一重要因素，但海侵影响与水质二因素并不完全独立，且水质中包含多达11 项指标，故取它们比较的标度为2，相反为1/2。
注意到水量与水质比较时，取值为1。这说明水量与水质同样重要。但表中水量与投资费用比较取值4，水质与投资费用比，取了数值3。这反映了我们思维存在一定的不一致性。这在层次分析法中是允许且比较常见。人为的判断取值，很难非常准确，这也是判别矩阵为什么要二二比较的原因之一。这不是烦琐了，是恰恰又给数据增加了一次纠错的机会！
类似可以得到C层相对B1层的判断矩阵，见表4.6。
表4.6 C-B1判别矩阵
上表中的数据，似乎有点奇怪。层次分析法给出的标度法数值表（表4.4）是整数，但注意到也不是都是整数，倒数一般就不是整数。表中的数值是直接采用了水量比较的方法得到的。
有了上面的思路，对水质项，可以采用未超标项数进行比价。将未超标数进行比较，得到表4.7。
表4.7 C-B2判别矩阵
将距海距离直接比较，得到表4.8。
表4.8 C-B3判别矩阵
将节省的费用直接比较，得到表4.9。
表4.9 C-B4判别矩阵
表4.7、表4.9计算过程中，是对原始数据进行了变换后计算了，可事先对原始数据表处理下（表4.10）。
表4.10 基础数据表（变换后）
上面几个表中，对于最下边一行和最右边一列，计算方法如下：
以C-B1为例，计算如下：
850/840=1.0119 850/200=4.25 850/1200=0.7083
840/200=4.2 840/1200=0.7
200/1200=0.1667(https://www.daowen.com)
（3）层次单排序及其一致性检验。判断矩阵的特征向量（即层次单排序）及最大特征根λmax可以采用方根法、幂法等求出。
方根法步骤：
1）特征向量计算。矩阵按行相乘得到一列向量；每个向量开n 次方；所得到新向量归一处理即是结果。
计算公式：
以表4.5为例说明计算过程：
各行相乘有
归一化：
结果见表4.5中数据。
2）λmax计算。
一致性检验：检验是为了保持判别思维一致性。认为一致性比例CR＜0.1时，矩阵具有满意的一致性，否则要调整矩阵元素取值。应注意的是，检验具有满意一致性时，并不能说明量化排序结果的合理性（比如系统偏差）。
3）CR 计算。先计算一致性指标CI。
式中 λmax——矩阵最大特征根；
RI——平均随机一致性指标，查表4.11得到。
表4.11 平均随机一致性指标RI（1000次随机结果）
关于λmax矩阵最大特征根：若判断矩阵具有完全一致性时，λmax=n，且除λmax=n外，其余特征根均为零，而当判断矩阵只有满意的一致性时，它的最大特征根稍大于矩阵阶数n，且其余特征根接近于零，这样基于层次分析法得出的结论才是基本合理的。
λmax及其特征向量的幂法计算（以表4.5为例）：幂法计算框图如图4.4（ε 为事先给定的一个精度）所示。
图4.4 幂法特征根计算框图
按上述流程，对表4.5的计算结果见表4.12。
表4.12 幂法计算特征根和权重基础矩阵（采用Excel表计算）
续表
从特征向量看，结果与方根法基本一致。
（4）层次总排序及一致性检验。层次总排序指同一层次所有元素对于最高层的排序权值，它是由高到低逐渐进行的。同样，对总排序也要进行一致性检验。
本问题由于A 层仅有一个元素，所以B 层单排序及检验就是B 层总排序及检验。C层总排序见表4.13。
表4.13 C层总排序表
上表计算举例：0.04013×0.2751+0.3375×0.1818+0.1638×0.4274+0.0974×0.4=0.2807
结果是第2区水源地为所选择的，这从原始资料中也可看出是合理的。
整体一致性检验：由于C层四个矩阵的单排序均为完全一致性，故总的排序也具有完全一致性。
（5）C层对于目标层的一致性检验。
一般实际应用时，整体一致性检验一般可以忽略。事实上当决策者给出单准则下的判别矩阵时，是难以考虑整体的。当整体一致性不满足要求时，调整也比较困难。
