爱因斯坦最快乐的想法
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爱因斯坦最快乐的想法
光和时间
太阳是天空中最亮的光源，而太阳系的大小是天文学中衡量宇宙的基本标尺。在太阳系中，我们利用光来测量距离。到月球的距离以光秒为单位，到太阳是光分，到外行星是光时。但在日常生活中我们也不知不觉地用光来测量了所有的长度。直到1966年，长度单位是由“国际米原器”定义的。这是一根充作基准米尺的铂铱合金棒，目前保存在巴黎。国际米原器的长度定义为通过巴黎的子午线上从地球赤道到北极点的距离的一千万分之一。因此，不难理解，英国人坚定不移地拒绝采用公制系统[46]。然而，今天的“米”的长度是以光速来定义的，它完全对应于光在真空中在1/299792458秒内所走过的长度。为什么会选择这个奇怪的数呢？好吧，其实是为了和巴黎的国际米原器相等。但它的定义不再涉及民族自豪感了。无论谁使用米尺，都是以光为单位进行测量。
但是，因为光是由电磁振荡组成的，我们也用光来测量时间。这样看来，光确实是衡量事物的基本标准，即使从最深层的意义上讲也确实如此。爱因斯坦思考过这样的问题：如果不论我们自己的速度多快，光都一直以相同的速度行进。沿着这条思路，我们所有关于空间和时间的绝对和永恒不变性的观念都会被颠覆。
但是光的速度怎么就能永远相同呢？在一辆行驶中的跑车上爬行的蚂蚁比在沥青路面上行走的蚂蚁移动得更快，因为汽车和蚂蚁的速度相加。光不应该也是这样的吗？不，因为光不是蚂蚁，不是汽车。光是纯粹的能量，它没有惯性质量。加速物质只能通过力和能量。一个东西越轻，就越容易被加速。让蚂蚁加速比汽车加速更省力。而光是如此的“轻”，甚至不需要用最轻的推力碰它，它就已经自己飞走了。因此，光在真空中以它最大的速度行进。这个速度就是常说的光速，它几乎正好是每小时10亿千米。
没有任何东西能跑得比光还快，因为没有什么东西的惯性会比光更小。即使是引力的变化和由此产生的引力波也只以“区区光速”传播。因此，光速不仅是光的速度，也是因果关系的速度。当我们谈论“光”的时候，言外之意也包括其他的通过无质量波传递类似光的信息的过程。
但是，当我们相对于光运动时，肯定会有什么不同的事发生吧？爱因斯坦给出了肯定的答案。根据爱因斯坦的理论，时间和空间都会发生变化。那么，空间和时间是独立于其他事物存在的吗？我的回答是否定的。与能量和物质不同，空间和时间只是用来描述世界的抽象的量。空间和时间本身是无法触及的，它们只有通过测量才能成为物理现实[47]，而这总是需要利用光或类似的波来完成。在太空中和地球上衡量实体的标准是光。光不仅被用来测量空间和时间，而且也定义了它们。
在《圣经》创世故事中，在第一天一开始就有了光，光出现于万物之先。同样地，在我们今天的科学的创世故事中，光也是在时间的开始出现的。宇宙的开始是光和物质的大爆炸，看起来像个火球。
但为什么光如此地基本？不管怎么说，宇宙不是一道光，而是由物质构成的呀！但如果再向深处挖掘，在最终极的意义上，一切都是光和能量。爱因斯坦著名的公式
E=mc2
表示，能量（E）等于质量（m）乘以光速（c）的平方。质量同时也是能量，能量同时也是质量。从理论上来讲，这个公式还有另一个变体，即：
E=hν
其中希腊字母ν（读作“纽”）代表光的频率，h为普朗克常数，通过这个常数，我们将光换算为能量。这是量子论中最简单的方程。德国物理学家马克斯·普朗克是量子理论的创始人，方程中的常数即以他命名。根据量子论，在最小的尺度上，例如在原子层面，以光的形式存在的能量只能以能量单位的倍数发射或吸收。这种能量单位即所谓的光量子。
光因此也就是能量。频率越高，能量就越大。物质和光都是能量，它们可以相互转换。
爱因斯坦的另一个发现让事情显得更复杂了。高能量的光有时表现得像是粒子。在这种情况下，我们把光叫作光子（photon）。光子是一种波包，光在其中继续振荡，而它们像小小的装着光的包裹一样在空间中呼啸而过。
因此，牛顿和麦克斯韦都是对的：光同时是粒子和波。究竟把它当作粒子还是波，取决于你所研究的问题。在这个领域，问题决定了答案！今天我们还知道，这种波粒二象性也适用于最小的物质粒子。非常非常小的物质有时也会表现得像波一样。
甚至连日常生活中的力也是由光传递的。将原子或分子绑在一起的是量子物理和电磁力，也就是产生光的能量场。根据量子理论，所有这些力都是源自虚光子的交换。不管是人与人之间的相互接触，还是用锤子敲打钉子，这些在最小的尺度上都是电磁力的传递。声波的产生来源于气体的压缩和压力波在空气中的传播。但在气体中，当空气分子相遇并相互碰撞时，它们还是要交换微小的虚光子。我们感受到的、测量到的、认知到的或改变的一切，最终都要通过光的某种特性完成。在最小的原子层面上，我们所有的感官都要依靠光的交换，不仅是视觉，还有触觉、嗅觉和味觉。这就是为什么没有任何信息能以比光速更快的速度到达我们这里。
总而言之，我们总是用光来测量。而同时，只有能够测量的东西才会对测量者存在。在这个意义上，如果没有光，宇宙根本就不存在。说什么空间、时间、物质和感知，没有光，它们大抵不过是一片虚无罢了[48]。
在整个20世纪物理学中，“测量”本身对于定义现实存在的重要性是最为标志性的见解。即使在今天看来，这也是一场彻底的思维革命，是理解量子物理学和相对论的关键。
在量子力学中遵循的就是这样的原则：只有当我测量某物时，某物才成为现实。其余只是诠释罢了。而诠释，特别是量子物理学中的诠释，正如测量的真正含义一样，总是伴随着激烈的争论[49]。测量总是包括粒子之间相互交换能量和光的过程。这种思维导致了看待事物的全新方式。
在量子物理学中，一个粒子在被测量到之前可以以一定的概率出现在任何地方。在虚无的黑暗中，一切皆有可能，直到有人照亮它。测量意味着比如说照亮一个量子的过程。由于我们是在极小的亚原子尺度上工作，试图测量粒子总是意味着通过光量子来影响、改变和定义它们。测量不仅定义了现实，也改变了现实。
埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）用一条著名的悖论描述了这一点。他假想出了一只关在封闭的鞋盒里的猫。只要没有人掀开盖子看，这只猫就应该是既死又活的。薛定谔的思想实验当然有些误导性，因为鞋盒里的猫不是一个单一的、孤立的量子物体。猫身上的粒子不断地相互交换虚光子，也与地面或空气发生交换。因此，猫已经处在不断地被测量，或者正在测量它自己的过程中。因此，它的状态已经因此得以确定[50]，而并不是仅在我们掀开盖子时才尘埃落定。但这只是个思想实验，况且今天即使是在假设中，也没有人会把一只可怜的猫放在盒子里等死。如果这样做，动物保护人士会找上门来，而你纯属活该。
一只真正的猫只能要么是死的，要么是活的，但不能两者皆然。但如果这只猫是真空中的一个孤独的电子，而且远离其他物质，那么这个说法就正确了。电子不会确定地存在于这里或那里，而是以一定的概率同时在空间中的所有地方。当然，出现在不同地方的概率不一，有时这个概率是无限小。只有当电子被一束光击中时，这束光才会把它固定在某个地方。而正是在被光击中的那个时刻，这个电子才不再是存在于宇宙中的所有地方。电子可以同时穿过两扇门，除非你在门上安装一个光障来测量它们的通过情况。在这种情况下，它们就只穿过一扇门。
我们又一次见识到了光令人震惊又独特的重要性。光通过传递信息创造了现实。即使是空间和时间也起源于光和物质。空间和时间本身只是抽象的概念，只有当我们测量它们时它们才会成为现实的存在。没有钟就没有时间，没有尺子就没有空间，而最基本的时空测量装置是光。只有通过可测量性，空间才能具有物理属性，其后，我们才能用模型和表现形式来描述这些属性。
但是，如果光相对于所有观察者都以相同的速度运动，那么对于观察者来说，另外的量，也就是空间和时间，必须发生改变。爱因斯坦通过简单的思想实验证明了这一点，并得出结论：空间和时间并不是像牛顿想的那样是固定不变的绝对量，而是相对的。只有光速是绝对的[51]。
例如，如果一辆车正向我驶来，那么车内的时间会显得与我的时间不同。这听起来很奇怪，也确实很奇怪。但如果认真对待光速的恒定性，这就变得不可避免了。
让我们考虑衡量时间的最基本方法。机械腕表以一个固定的频率跳动，该频率由平衡摆轮的性质决定。腕表有规律地滴答作响，一秒一秒地测量时间。我们只需要计算“滴答”的数量，就知道已经过去了多少时间。令人庆幸的是，我们不需要亲自计数，而是让分针和时针代劳，这样我们就不用一直盯着表盘数数了。
同样的原理也适用于数字时钟，不同点只在于这时决定频率的是晶体的振荡。最终，在最微小的原子层面，实际上发生的是虚光子的交换和能量通过电磁力的传递。然而，即使是沙漏，当沙子的分子相互撞击并试图挤过狭窄的玻璃瓶颈部时，也需要与光相关的力。
为了简单起见，让我们假设这样一个摆钟，但其中摆动的不是重物，而是在两面镜子之间来回反射的光。在15厘米的固定距离上，光需要大约1纳秒才能返回。这样，我们大约每秒测量10亿次光的来回。这个频率相当于千兆赫兹（缩写为GHz，简称为千兆赫）。1赫兹对应于每秒一次的周期或振荡。这个测量单位以德国波恩的物理学教授海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）的名字命名。他是第一个测量和制造出麦克斯韦预测的电磁波的人。
现在关键的一点来了：如果我和这台“光线钟”一起坐在汽车里，在我看来，光是在镜子之间垂直地上下移动的。但是，如果有一位警察站在路边，并且在汽车高速经过他身边时仔细观察，那么在他看来，光似乎是以一个小角度斜向上下移动的。对他来说，光的轨迹形成了人字形图案。想象光像蚂蚁一样缓慢地移动可以更好地理解这件事。蚂蚁在车里垂直地上下移动。警察看到它向上爬行，并同时与汽车一起向侧面移动。从警察的角度看，蚂蚁相对于他来说是斜着移动的，而且速度相当快。
蚂蚁和光线的斜向运动线自然比完全垂直的线长。在同一段时间内，蚂蚁和光相对于警察来说走过了更远的路程。因此，天真的观察者会认为，蚂蚁以超过蚂蚁的速度前进，因此汽车中的光以超过光的速度前进。蚂蚁可以这样做，但阿尔伯特·爱因斯坦和詹姆斯·麦克斯韦恰恰禁止了让光以这种“超速”传播。因此，对于一位遵纪守法的警察来说，尽管从他那里看到的光走过的距离更长，但他看到的光的速度应该与汽车司机看到的相同。
这怎么可能呢？唯一的答案是，如果从警察的角度来看，光走过的路径长度发生了变化，那么他所测量到的时间也必须改变，以使光的速度保持不变。因为，速度的定义是单位时间内走过的距离，如每小时千米数。如果距离出现变化，要想让速度不变，时间必须改变。所以警察在汽车外面观察到的时间流逝，要比在车里测到的慢一些。
这被称为相对论时间延缓效应[52]（time dilation），它厚颜无耻地违反了我们所有的直觉。我们习惯性地认为速度总是可以改变的。如果我不得不开车绕道而又想在同样的时间内抵达，我就开得更快。有些人甚至不负责任地冒着被罚款的风险超速行驶。对于光来说，这种事不可能发生。光的速度是始终不变的，而发生变化的只能是时间，因为光定义了时间。我们都要跟着时间走，但时间本身是跟着光走的。
汽车里的“光线钟”，还有所有这些事情，听起来都抽象得让人受不了。但在现实中，每个时钟的运行方式都是一样的，不是吗？为了测试这一点，约瑟夫·哈菲尔（Joseph Hafele）和理查德·基廷（Richard Keating）这两位科研人员在1971年乘坐航班，在与地球自转同向和反向的情况下各飞行了一次。飞行中他们携带了四个高精度的铯原子钟，并在事后将这几台原子钟的时间与留在地面的原子钟进行比较。如果这些飞机上的钟飞过的路程多且飞行速度快，走时会有所不同吗？实验本身很简单：时钟是借来的，实验中最昂贵的部分是让时钟飞往世界各地的飞机票。在票面上，这些时钟乘客的姓名是“钟先生”。这些不寻常的乘客被捆绑在自己的座位上。尽管买飞机票花了点钱，这个实验可能是有史以来测试相对论的实验中最便宜的。
而事实上，哈菲尔和基廷的实验表明：向东飞行的时钟（即沿着地球自转的方向，与地面上的时钟有一个小的相对运动）在飞行后慢了60纳秒；向西飞行的时钟（即与地球自转方向相反，与地面上的时钟有较大的相对运动）甚至比实验室里的时钟快了270纳秒[53]。这个实验后来又重复了几次，令人印象深刻地证实了相对论的几个重要论断。
所以说，时间是不可信的。但这样一来，我们测量的距离也不一定可靠，因为我们用来测量距离的工具当然也是光。如果汽车以接近光的速度行驶经并过警察，警察可以用秒表测算汽车的长度，即根据车速和汽车通过的时间计算出车长。但是，如果车上的司机有两个完全同步的时钟，并将其分别安在车的前端和后端，汽车司机用自己的时钟测量到的自己经过警察所需的时间将与警察测量到的经过时间不同。这就是时间延缓效应产生的时间差。警察测量到的时间间隔比司机的短，因此，警察计算得到的车长也比车内的人测量到的短得多。对于站立的警察来说，这辆车看起来太小了，而司机则在车里安然舒展四肢。
因此，当事物运动时，我们不能轻易相信空间的尺度——而当引力也起作用时，后果会相当严重。
水星报信：时间和空间的新理论
几年前，我们接到一位荷兰记者的电话。他怀疑基础研究没有任何社会效益，并想就这个题目写一篇文章。“我们从精确测量水星轨道中得到了什么？”他以一个带着些挑衅的问题开始。我被吓了一跳。“你是在开玩笑吗？”我立刻毫不客气地回复，“这是在做隐藏摄像机整蛊节目？”我继续说道：“水星是基础研究中的光辉典范。对它的研究起初看似无用，但最终从根本上改变了我们对物理世界的理解，并催生了一整个新的产业。”像通腾导航科技（TomTom）这样销售导航设备和软件的荷兰公司，其每年超过5亿欧元的营业额主要归功于对水星轨道的精确天文测量，一位名叫爱因斯坦的专利局雇员使之成为可能。“世上有那么多东西值得取笑，可你却偏偏选中了水星？”
到了19世纪，开普勒和牛顿对行星轨道规律的解释已经深入人心。行星失去了曾经笼罩着它们的魔力，变得不再神秘。占星术曾经暗地里促使科学家对行星产生兴趣，此后只在秘术爱好者的小圈子里发育。而现在，太阳系对我们来说只是小学课堂上的一个不错的主题。再也没有什么未解决的问题了，不是吗？事实上，并不是所有问题都得到了解决。恰恰就在我们的太阳系内，出现了一个小小的问题。我们从中可以看到，精确测量是多么重要。
从开普勒的时代起，我们就知道行星是沿着椭圆轨道围绕太阳运行的。但这并不完全正确。行星轨道的形状实际上像花朵，或者准确地说像莲座。这些椭圆轨道并不是封闭的；行星每运行一圈还会再旋转一点，所以没有行星总是在同一点上最接近太阳。这种效应被称为近日点进动。近日点，也就是最接近太阳的地方。进动，也就是绕着太阳旋转的同时前进。
行星不仅受到太阳的引力，而且还感受到所有其他行星的引力。牛顿的经典引力理论可以用来非常精确地计算这种效应。但实际上，这个问题的计算并不像看起来那么容易，因为在我们的太阳系这样的系统中，每颗星球都会拉动所有其他星球。如果行星和太阳有相同的质量，整个系统会立刻分崩离析。有时，两颗行星可能同时拉住第三颗行星，并将其抛出太阳系。行星在拉扯空中伙伴时不需要非常用力，就能让它脱轨；只要抓准拉扯的正确时机就够了。
它就像一个孩子的秋千，用长绳挂在花园里的大樱桃树上，在适当的时候推一下，孩子就开始摆动了。但是，如果你总是在适当的时候有规律地推，可怜的孩子最终会从秋千上飞到邻居家的花园里。同样，围绕太阳均匀运动的行星之间也会发生共振，而且这些共振会不断地积累起来。
如果涉及两个以上的秋千或行星，就会变得完全混乱。在数学上可以证明，已经无法准确计算三个物体在共同引力场中的运动，并导致最真实意义上的混沌（chaos）。任何曾经和小孩子一起去游乐场的人都会知道并能很好地证实这一点。因此，难怪三体问题占据了许多数学家几个世纪的时间，而且众所周知，它为浪漫小说的作者提供了无尽的素材。不管是行星还是恒星，越多的天体相互绕行，就会变得越混乱。甚至可以证明，原则上不可能对轨道的进一步走向做出任何长期预测。
然而，混沌理论绝非一无是处。它不能预测未来，但它可以确定一个系统变得不可预测的时间点。甚至我们的太阳系也处于混沌的边缘。例如，用于计算行星轨道的混沌时间尺度称为李雅普诺夫（Lyapunov）指数，它对应的时间点在500万到1000万年之间[54]。极其微小的变化可以完全改变未来。一千多万年后地球在其轨道上的确切位置或许取决于一只蚂蚁今天咳嗽的位置。
当我们的太阳系形成时，有比今天更多的混沌。在那些原始时代，我们的行星系统充满了许多小行星和微型行星，它们逐渐被摇摆效应来回折腾，有时甚至完全脱离了太阳系。由于相互作用，大行星开始向内或向外移动。如果我们按照我的同事亚历山德罗·莫尔比代利（Alessandro Morbidelli）和他的合著者的“尼斯模型”（Nice Model），天王星和海王星甚至可能已经交换了位置。在我们的太阳系中，并非一切都像今天这样。剩下的小行星是持续了数十亿年的混乱欺凌阶段的勇敢幸存者。
顺便说一句，这些遗留的微型行星中的一个，在国际天文学联合会小行星中心的目录中被列为12654号。自2019年起，它被称为“Heinofalcke”。它在一个相当偏心的轨道上围绕太阳运行。“这很适合你。”我的前老板评论道[55]。“他可能曾经像我一样被人欺负，但仍然没有脱离轨道。”我反驳说。
混沌理论不仅适用于我们的太阳系，而且适用于许多系统，并为我们的预见性设定了一个基本限制。但这并不意味着任何事情都是不可预测的。例如，我们可以让计算机从统计学上计算出所有小行星的总量在很长一段时间内将如何发展。不幸的是，不可能从获得的数据中准确确定小行星“Heinofalcke”的位置。因此，我真诚地希望，它的轨道不会在地球上结束。如果我在新闻中听到“Heinofalcke”刚刚摧毁了纽约，那将是极其不愉快的事情。
然而，幸运的是，我们的太阳系在当下这段时间内保持着安宁，每个行星似乎都找到了一个大约稳定的地方。在可预见的未来，没有理由担心任何一颗行星会离开太阳系，即使是小水星似乎也足以抵御大行星的引力攻击——正是因为它已经舒适地定居在强大的太阳附近。
从数学的角度来讲，行星之间的交替拉扯属于小扰动，是可以计算的。在这个过程中，椭圆轨道逐个地渐渐移动，因此，在一定范围内可以准确预测近日点进动。在我们拥有测量数据的几个世纪内，混沌运动成分应该是难以察觉地小。基于微扰理论的计算在天体力学方面取得了巨大的成功，并导致了1846年海王星的发现[56]。
让我们回到19世纪的时候。天文学家已经对所有的行星轨道进行了详细的解释。哦，不，不是所有……一个不屈不挠的小星球并没有停止抵抗，并使科学家们感到困惑。计算所有行星的影响，水星的椭圆轨道长轴应该每年旋转5.32角秒。然而，事实上，它每年旋转5.74角秒，差了0.42角秒。
我们来明确一下这种差异是多么微小。如果你把一个生日蛋糕分成12块，每块的开口角为30度。然后，蛋糕每一块又可以分为1800片，每一片的角度为1角分。而每一角分又可以分为60角秒。如果我们在切蛋糕时偏了0.4角秒，那么对于一个直径为30厘米的蛋糕，我们多切掉的厚度要比人的头发的三百分之一还细。
只有顶级吹毛求疵的人，才能在偏差这样小的情况下挑出毛病。但即使是最小的差异，也会随着时间的推移而累加，而这总是让物理学家牵肠挂肚。如果水星的测量结果与理论不一致，那么要么测量有误，要么理论出了错。是否有什么细节被忽略了？如果是的话，是哪些？在哪里？为什么？
很长时间以来，这场灾难的罪魁祸首被认为是太阳附近一颗神秘的、未被发现的行星。天文学家甚至为它取了个名字——祝融星（Vulcan）。当然，因为这个名字，其居民就成了瓦肯人。但最终，瓦肯人还是落入了科幻小说的领域，而这一切都是因为一个年轻的二等专利员[57]产生了一个全新的、革命性的想法。
空间不过是张床单
爱因斯坦在20世纪初颠覆了我们对空间和时间的概念，并将经典物理学嵌入他的新相对论中[58]。爱因斯坦绝不属于那种孤高天才的类型，也不是一个人为实现伟大突破踽踽独行。他是一个善于交际的波希米亚人，也是个公共知识分子。
1896年，他开始在苏黎世联邦理工学院（Eidgenössische Technische Hochschule）与米列娃·马里奇（Mileva Marić）一起学习[59]。爱因斯坦认为这位年轻的物理学家与自己旗鼓相当，在实验物理学方面甚至更胜一筹。他们在阿尔伯特找到第一份工作时结婚。他们几个小时、几个小时地坐在一起，讨论和阅读哲学书籍。米列娃和阿尔伯特可能也一起写了他们的第一批文章，但只有阿尔伯特作为作者出现。
米列娃的退出是为了增加阿尔伯特的职业机会吗？有些人认为，按照今天的标准，米列娃应该被记为这些文章的共同作者。“我需要我的妻子，她能解决我所有的数学问题。”据记载，阿尔伯特在职业生涯的早期这样说过。有可能，米列娃主要考虑的是共同的未来。有一次，当被问及为什么在二人联合申请的专利中，她的名字没有出现在爱因斯坦的旁边时，她曾引用自己的婚后姓，一语双关地说：“我们二人一体，坚如磐石。”——爱因斯坦，也就是一块石头。在当时的物理学界，作为一名女性，坚持自己的观点当然要困难得多，甚至是不可能的。她对爱因斯坦思想的科学贡献程度在历史学家中仍有争议，但肯定绝非微不足道。关于这一点，确凿的证据很难获取。爱因斯坦与许多物理学家进行过书面通信。然而，在家里的厨房桌子上讨论的想法，在档案中是找不到的。
爱因斯坦毕业后的第一份工作是他的同学马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）的父亲介绍的，在现在具有传奇色彩的伯尔尼的专利局。随后在“爱因斯坦奇迹年”，也就是1905年，他一下发表了五篇开创性的文章。阿尔伯特因其对光的性质的研究，即“发现光电效应的原理”而于1921年获得诺贝尔奖。另一篇论文认为，质量和能量是等价的——公式E=mc2可能是迄今为止世界上最著名的物理学公式。最后，在1905年，他还发表了关于狭义相对论的文章。其中，爱因斯坦表明，时间和空间是相对的，并根据观察者的相对速度而变化。但爱因斯坦的工作还没有结束。
甚至在爱因斯坦的关键性发现面世之前，他的相对论长度收缩就已经挑战了绝对空间的概念。新思考的第二步是从牛顿、旋转的水桶和旋转木马开始的。这位英国物理学家曾经思考过一个旋转的水桶的奇特特性。爱因斯坦进一步思考并指出，由于长度收缩，旋转圆的周长与直径的比率必须取决于观察者的位置。(https://www.daowen.com)
以游乐场的旋转木马为例。这种游乐装置的中间有一个轴，而周围的转盘上连着许多五颜六色的警车、火箭或木马，孩子们就坐在上面。如果一个在售票处等待的孩子用卷尺测量圆形旋转木马的周长和直径，他会发现周长和直径的比率等于著名的圆周率π。
如果一个孩子坐在旋转木马上的火箭里转圈，并且也用卷尺测量周长，那么静止的孩子，也就是站在结账处的孩子，会认为周长变短了。对他来说，由于相对论长度收缩，火箭上的孩子用卷尺测量到的长度显得更短了。然而，这个视觉上的卷尺长度取决于运动的方向。沿着运动方向测量的旋转木马的周长显得更短，但垂直于运动方向的旋转木马直径却没有变化。这样，周长与直径的比值就不再等于π。令人惊讶！因为正常的圆不会这样。正常的圆的周长总是正好是直径的π倍。
对于教科书里的圆来说，这自然是正确的。在书里，我们画圆的空间是平的。但当我们考虑弯曲的表面时，这种情况就会改变。孩子们可以在拉长的床单中间画一个大圆圈。如果他们握住床单的两端，一起把它抬起来，二维平面就会下垂。空间变得弯曲，圆的几何性质也发生了变化：圆的周长基本保持不变，但沿床单表面测量的直径比凌空测量的直径长。弯曲空间的周长与直径之比不再正好是π。重要的是，这里要用带松紧带的床单，因为只有这样的床单才能真正地伸展开来！
想象一张弯曲的床单很容易，但空间实际上是三维的。这使得一切都变得复杂且难以想象。三维空间也可以是弯曲的吗？我们的大脑无法想象这些，但也许我们可以用数学来描述它。随着时间的推移，爱因斯坦明白，甚至需要四个维度，因为时间在相对论中也起着决定性的作用。
描述这类弯曲空间的数学工具是在19世纪刚刚开发出来的。四维弯曲空间是由张量描述的。张量的形式如同数值组成的表格，例如4乘4共16个条目组成的数表。其中每一列或每一行代表空间的一个维度。张量的运算可以像对普通的数字做算术一样，同样是加法、乘法、减法。当然，前提是你知道运算的法则。
当时，只有少数专家研究这个问题，其中有黎曼[60]、里奇-库尔巴斯特罗[61]、列维-奇维塔[62]、克里斯托弗尔[63]和闵可夫斯基[64]。今天，这些杰出的名字出现在所有的高等数学教科书中。除了黎曼，所有上面提到的数学家都是爱因斯坦的同时代人。这种数学对爱因斯坦来说是全新的，而且太复杂了。他说：“我对数学具有无比的敬意。我至今一直认为，对于无知的我，数学之中更精妙的部分是一种奢侈品。”
没有人是只靠自己的力量做研究的。对于爱因斯坦，幸运的是，他还有学生时代的老朋友马塞尔。“格罗斯曼，你必须帮我，否则我会疯掉。”爱因斯坦在已经当上教授后依然这样写道[65]。
爱因斯坦和格罗斯曼现在面临的挑战是重新描述物理方程，使其在弯曲的空间中发挥作用。启发爱因斯坦的是恩斯特·马赫（Ernst Mach），一位物理学家和哲学家。超声速的单位就来自他的鼎鼎大名。沿着马赫的思路，爱因斯坦坚信，无论在什么地方——无论是在公园里野餐，还是在旋转木马起伏的马背上，还是在太空中的火箭里——自然规律都必须具有相同的形式。
乍一看，这种对物理定律的普适性的要求似乎是显而易见的。但它让爱因斯坦把空间、时间和引力的性质归纳为一个普遍适用的理论，即在1915年发表的广义相对论。
决定性的灵光一闪出现在还在伯尔尼的专利局工作的时候。爱因斯坦作为专利局雇员的工作积极性如何，我们不得而知，但这份工作显然留给他足够的时间去思考。这种创造性的火花形成了一套理论基础。今天，不论是用它描述膨胀的宇宙，抑或是黑洞的引力或引力波引起的时空震荡，都一样可靠。
“这是我一生中最快乐的想法”，爱因斯坦后来说。关键的想法是，引力从根本上与普通的加速度没有区别。“如果一个人闭着眼睛从窗户跳出去，他在那一刻无法分辨自己是在太空中漂浮还是在做自由落体运动——至少在他落地之前是这样。”爱因斯坦的想法大致就是这样[66]。也许在诞生这个想法的那一刻，爱因斯坦也在做白日梦，并且幻想着如果关闭窗户，可以想象自己是乘坐巨大的电梯在太空中飞行。如果电梯持续加速，他也会被推到椅子上。他怎么能知道把他固定在椅子上的力量是来自地球的引力还是电梯的加速度呢？他判断不了！[67]
引力与加速度在局部是无法区分的。这一原则今天被称为爱因斯坦的等价原理。这是一条基本假设，而不是一条证明。它是一种原则，一个教条，人们必须一次又一次地通过实验来解释和检验它[68]。
反过来说，这个原理意味着即使你在椅子上坐着不动，你也同时在加速。感觉完全一样！即使我们放松地坐着，适用于快速运行的电梯或强力加速的火箭的相对论原理也同样适用于我们。也就是说，任何加速运动都会导致空间像床单一样弯曲。
但是，由于爱因斯坦无法区分他是坐在内饰装潢得好像专利局一样的电梯里，还是坐在地球引力场中的真正的专利局里，地球也必须能够仅仅依靠其质量产生的引力来弯曲空间。事实证明，引力不仅能弯曲空间，还能弯曲时间！必须把空间和时间放在一起考虑。
结论是激进的：引力不是一种力；相反，它表现为时空的几何。既然我们无法想象四维的弯曲空间，让我们再把时空想象成一张拉伸的床单。如果没有东西或没有人躺在上面，那么它就是平坦的、水平的。如果你把一个保龄球放在床单中间，会造成一个大的凹陷。如果你把台球放在靠近床单边缘的地方，会造成一个较小的凹痕，并且台球会开始向保龄球方向滚动。实际上，它们都在向对方滚动：台球非常快，而保龄球只有一点点。它们越接近对方，就越快地朝对方移动，因为倾角越来越陡。因此，床单的曲率与引力的大小相对应。
接下来，如果我们把弹珠弹到床单上，它就会在保龄球的凹陷处以越来越小的椭圆路径移动。在平坦的床单上，弹珠将简单地沿直线向前移动。在一个弯曲的空间里，它走的路径是弯曲的。由于床单表面的摩擦，弹珠的动量很快就损失了。它越来越接近沉重的保龄球，最终沉入底部——保龄球的漏斗形凹陷中。如果没有床单的摩擦，弹珠将继续移动，而且就像行星围绕太阳一样，它将长期不受干扰地沿着椭圆路径绕着保龄球转。
从最初的想法到加入引力，直到得出广义相对论的严格表述，爱因斯坦需要八年时间和许多对话、信件和讨论。在1907年到1915年之间，他几番认为自己的引力理论大功告成，但很快，一次又一次地，他又抛弃了这些尝试性的概念和初稿。直到1915年底，他才成功地写下了一个完整而连贯的理论。爱因斯坦确信他终于找到了正确的答案。
在用新理论计算出水星的近日点进动后，他终于长舒了一口气。千真万确，他的理论终于解释了那个长期以来无法理解的极微小的偏差。围绕太阳的不可估量的大床单上的时空凹痕使水星轨道的圆周显得更短，水星划出的椭圆旋转的速度比之前预期的要快一些。爱因斯坦“好几天都高兴得不得了”，心脏怦怦直跳。牛顿被打倒了，但还没有彻底落败[69]。
对于一个新理论，仅仅是自洽和具有逻辑性是不够的。每一种理论也必须在实验和生活中证明自己。这和天主教会的封圣流程有点像。在他或她死后，未来的新圣人还必须再从天上施行不止一个而是两个奇迹来证明自己的价值；如果只行过一件神迹，只能册封为真福。
可以让爱因斯坦被宣福的第一个奇迹是他用广义相对论解释了水星异常的近日点。但是，广义相对论还要过很久才能成为物理学中的正典。他的另一件奇迹依然是与光的特性有关。
向黑暗前进
视觉不仅对我们人类具有根本的重要性，对科学也是如此。通过视觉，我们可以确定自己的方向，说服自己认定或否定一件事是否真实。视觉对于天文学格外重要，没有它，就无法探测和感知对象。大多数人必须要先看到一个东西，才能相信它。“眼见为实”是有道理的。
没有光，就什么也看不到。尽管如此，为了更好地认识事物的本质，也需要黑暗。正因如此，天文学家奔赴观看1919年5月29日的日食。这可能是现代物理学中最著名的日食。物理学家阿瑟·爱丁顿（Arthur Eddington）计划利用这次旅行来检验爱因斯坦的广义相对论[70]。他想表明，太阳是可以使星光偏折的。特别值得一提的是，爱丁顿是英国人，他也很清楚，这次观测会帮助德国人阿尔伯特·爱因斯坦成名于世。这在当年绝不是理所当然的。第一次世界大战刚刚结束没几个月，同盟国和德意志帝国多年来一直处于敌对状态。在这一背景下，这次科学远征需要异常的勇气，并在物理学史上写下浓重的一笔。
根据广义相对论，太阳的质量使它周围的时空发生弯曲[71]，所以太阳会使它后面的天体的光线发生偏转。这意味着从地球的角度看起来靠近太阳的恒星应该出现非常小的位移。这件事听起来令人难以置信。爱因斯坦的理论在数学上是完美无缺的，但它能经得起实验的检验吗？为了找到答案，天文学家需要一次日全食，因为白天太阳照耀时我们看不到恒星，而晚上我们也看不到太阳。
1919年，爱丁顿踏上了远征的航船。他计划在西非海岸的普林西比火山岛上测量爱因斯坦理论所预测的光的偏转。英国皇家天文学家弗兰克·沃森·戴森（Frank Watson Dyson）与爱丁顿一起组织了这次考察，向巴西派出了第二个小组。5月时，太阳被毕星团环绕；条件几乎完美。爱丁顿是爱因斯坦理论的信徒，也是一位杰出的数学家，他搓了搓手。
太阳应该在月球的本影中停留五分钟以上。但在那个决定性的日子的早上，下雨了。爱丁顿变得紧张起来。不管是在海上，还是在望远镜后面，你都在上帝的手中，至少就天气而言是如此。但就在日食开始之前，突然间，云层破裂了！机不可失：他们手忙脚乱地曝光了16张照相底片，后来发现其中只有2张含有可用的数据。研究人员在旅行前已经拍摄了一张没有太阳的参考图像。同时，强烈的太阳辐射使巴西同事的望远镜的金属框架变形。
回国后，科学家们对这些数据进行了长达数月的评估。然后突破性进展出现了：照相底片上的恒星确实发生了移动——正好是二百分之一毫米的移动。算上测量误差，这与爱因斯坦的数学预测完全一致。所以说，光真的会走弯路！
“天上的光线都是歪的——爱因斯坦的理论大获全胜！”《纽约时报》以这样的标题报道了这一结果。这些测量结果成为爱因斯坦的伟大理论的第二个奇迹，并使他一举成为科学界的流行巨星。时至今日，双重日食考察被认为是理论与实践完美结合的典范。第一次世界大战后，超越国籍的合作不仅给了国际科学界一个明确的信号。在战争的动荡之后，这是朋友和敌人第一个共同分享喜悦和迷恋的时刻。
令人惊讶的是，皇家天文学家戴森本人已经在1900年拍摄了一次完全相同的日食，在他的照相底片上甚至可以看到恒星。然而，当时的人们在评估这些数据时，只专注于寻找神秘的祝融星，而没有给那些略微偏移的恒星分出一点注意力。因此，答案的决定性部分在档案中沉睡多年未被发现。事实上，在爱因斯坦提出狭义和广义相对论理论之前的几年，它们就已经在那里了。有一个令人信服的理论并提出正确的问题是很重要的！
这次考察对爱丁顿来说是一次重大胜利，对爱因斯坦来说更是如此。当爱丁顿于1919年11月在伦敦展示自己的成果时，广义相对论还没有很多追随者。老一辈的物理学家们都对初出茅庐的爱因斯坦心存疑虑，很多人根本无法理解他的想法。爱丁顿是少数有能力理解爱因斯坦的人之一。据说，曾经有人问爱丁顿，世界上是否真的总共只有三个人理解爱因斯坦的理论，爱丁顿回答说：“谁是第三个人？”
天文观测使爱因斯坦的理论充满希望，在今天的日常生活中，我们也仍然受益于这些成果。该理论的另一个预测是，由于时空的曲率，时间也会发生变化。简单地说，如果光在一个弯曲的空间里飞行，那么它一定会走得更远。但如果光速保持不变，那么时间也必须增加。光波被拉得更开，振荡得更慢。因此，地球上的时间走得比太空中的时间更慢。
当美国的全球定位系统（GPS）的第一批卫星于1977年被发射到太空时，它们旨在彻底改变地球上的导航。这些卫星携带高度精确的时钟，通过无线电向地球表面发送时间信号。在规划该项目时，物理学家向设计者指出，根据爱因斯坦的说法，时钟在太空中会走得更快，因为地球会弯曲时空。
有些不情愿地，工程师们确实安装了这样的修正，但并不十分信任它。一开始，当把卫星发射到太空时，他们关闭了时间校正。但他们很快就发现，时钟确实每天都在提前39微秒[72]。从那时起，卫星上的时钟一直在故意运行得慢一点，按照广义相对论做出校正。这些时钟在地球上走时不准；但一旦进入轨道，它们就变得正确无比。我们大家都在默默地使用广义相对论的成果[73]。
今天的光钟非常精确，甚至不需要发射到太空中就能记录地球弯曲时空的微小差异。让这些精密时钟离地面高出10厘米，就足以让它们记录下相对于地面上的参考时钟的时间变快程度[74]。
在地球大气层边缘的时间校正只是最微不足道的，然而在技术上已经极具重要性。当更多的质量被挤压到一个更小的空间时，空间的曲率增加得更多，所有上面提到的效应甚至更加极端。在黑洞的边缘，时间似乎静止了。然而，要创造这样弯曲的空间，需要巨大的力量，需要恒星的力量。
[46]英国早在1965年就已全面改用公制系统。——译者注
[47]这可能更应该是一个哲学问题。一个完全空的空间的熵为零，并且不会有任何发展或变化，因此，在这样的空间里也没有时间可以测量。一个没有物质或真空能的完全空旷的空间将是最本真意义上的虚无，物理学对它无计可施。当然，它在数学上可能依然存在讨论的价值。
[48]光在这里的内涵更为广泛，包括了所有形式的相互作用。这些相互作用大多以光速进行。如果假设一个物质在其中不发生任何相互作用的宇宙，那么空间在其中没有任何意义。这里就出现了一个问题，即我们应该把什么称为现实存在。即便时空中没有任何光或物质，爱因斯坦场方程也同样有解。当然，此时，空间和时间就沦为了一个用“虚无”来描述的纯粹的数学概念。
[49]例如，参见：Philip Ball, “Why the Many-Worlds Interpretation Has Many Problems,” Quanta Magazine, October 18, 2018, https://www.quantamagazine.org/why-the-many-worlds-interpretation-of-quantum-mechanics-has-many-problems-20181018；Robbert Dijkgraaf, “There Are No Laws of Physics. There’s Only the Landscape,” Quanta Magazine, June 4, 2018, https://www.quantamagazine.org/there-are-no-laws-of-physics-theres-only-the-landscape-20180604。
[50]量子态在成为宏观物体的过程中经历信息损失的过程，一般用退相干的概念来描述。关于量子物理学的更透彻、更容易理解的阐释，可参见如：Claus Kiefer, Der Quantenkosmos: Von der zeitlosen Welt zum expandierenden Universum (Frankfurt: S. Fischer, 2008)。
[51]由于历史原因，物理学家仍在使用光速来讨论这个问题。从现代的角度来看，也可以将这个绝对的最大速度用引力波命名，称之为“引力速度”。甚至更好是将其称为“因果速度”。在相对论中，光速是时空的基本量，它表示空间尺度与时间尺度的自然关系。
[52]又称钟慢效应。——译者注
[53]参见论文：J. C. Hafele and Richard E. Keating, “Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains,” Science 177 (1972): 166–68, https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1972Sci…177..166H。在这个实验中重要的一点是，三个时钟全部都在相对一个非旋转的“惯性系”移动。这个参照的惯性系是地球中心或某颗固定的恒星。在赤道上，放在地面的时钟以大约1600千米/小时的速度相对地球中心向东移动。如果我们乘坐空客A330，以时速900千米向东飞行，那么总速度就是飞机的速度加上地球自转的速度，可达2500千米/小时。如果我们以同样的速度向西飞行，那么我们相对于地球中心的速度就比地球表面的速度慢900千米/小时，只有大约700千米/小时。但此时总的运动方向还是向东。乘坐向东飞行的飞机的钟先生相对于地球中心的速度最快，因此相对而言，时间过得最慢。向西飞行的钟先生相对走得最慢，因此时间过得最快。在地面上尽忠职守的时钟相对于地球中心来说也不是静止的。它为我们提供了参考时间。地面上的时钟的走时比地球中心的时钟慢，同时，快于向东飞行的时钟，慢于向西飞行的时钟。因此，该实验确实测试了广义相对论和等价原理的许多内容。
[54]参见论文：R. Malhotra, Matthew Holman, and Thomas Ito, “Chaos and Stability of the Solar System,” Proceedings of the National Academy of Science 98, no. 22 (2001): 12342–43, https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2001PNAS…9812342M。
[55]我的同事保罗·赫罗特（Paul Groot）曾经担任系主任多年。
[56]物理学家、数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1823年出版了著作《天体力学》（Traité de mécanique céleste），使天体力学的发展迈出了重要一步。数学家于尔班·勒威耶（Urbain Le Verrier）在1846年通过研究天王星轨道的摄动成功地预测了海王星的存在。
[57]爱因斯坦在入职时仅为三等职员，不过，在发表其理论时，他已升为二等。
[58]参见：Hanoch Gutfreund and Jürgen Renn, The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein’s “The Foundation of General Relativity” (Princeton: Princeton University Press, 2015)。
[59]参见文章：Pauline Gagnon, “The Forgotten Life of Einstein’s First Wife,” Scientific American, December 19, 2016, https://blogs.scientificamerican.com/guest-blog/the-forgotten-life-of-einsteins-first-wife。另一种不同的描述参见：Allen Esterson and David C. Cassidy, contribution by Ruth Lewin Sime, Einstein’s Wife: The Real Story of Mileva Einstein-Maric (Boston: MIT Press, 2019)。
[60]伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann），德国数学家。——译者注
[61]格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗（Gregorio Ricci-Curbastro），意大利数学家、物理学家。——译者注
[62]图利奥·列维-奇维塔（Tullio Levi-Civita），意大利数学家。——译者注
[63]埃尔温·克里斯托弗尔（Elwin Christoffel） ，德国数学家。——译者注
[64]赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski），德国数学家。——译者注
[65]私人信件内容，引自：Gutfreund, H. und J. Renn, The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein’s “The Foundation of General Relativity” (Princeton: Princeton University Press, 2015), 57。
[66]参见文章：Albert Einstein, “How I Created the Theory of Relativity,” reprinted in: Y. A. Ono, Physics Today 35, no. 8 (1982): 45, https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/1.2915203。
[67]严格说来，等效原理只适用于质点。而在这个例子中，将爱因斯坦的脚拉向地球的力比他的头受到的力要大一点。这就是所谓的潮汐力。地球相对较小，所以这种潮汐作用也不明显。然而，爱因斯坦在落入小黑洞时肯定会发现些许异样。事实上，他将会被拉成面条。
[68]科研人员使用射电天文方法测量了一个有两颗白矮星的三星系统中的脉冲星，对等价原理进行了很好的测试。论文参见：https://www.mpg.de/14921807/allgemeine-relativitaetstheorie-pulsar; G. Voisin, et al., “An Improved Test of the Strong Equivalence Principle with the Pulsar in a Triple-Star System,” Astronomy & Astrophysics 638 (2020): A24, https://www.aanda.org/articles/aa/abs/2020/06/aa38104-20/aa38104-20.html。
[69]参见：Hanoch Gutfreund and Jurgen Renn, The Road to Relativity: The History and Meaning of Einstein’s “The Foundation of General Relativity” (Princeton: Princeton University Press, 2015)。
[70]参见文章：Daniel Kennefick, “Testing Relativity from the 1919 Eclipse: A Question of Bias,” Physics Today 62, no 3. (2009): 37, https://physicstoday.scitation.org/doi/10.1063/1.3099578。
[71]光线的偏折一半来自空间的曲率，另一半来自时间的曲率。后者在牛顿的引力理论中已经得到了解释。因此，根据牛顿理论预测的值应该是实际偏折值的一半。
[72]参见论文：J.-F.Pascual-Sánchez, “Introducing Relativity in Global Navigation Satellite Systems,” Annalen der Physik 16 (2007): 258–73, https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2007AnP…519..258P。简单的计算可得，每天延迟39微秒相当于10千米的定位误差。许多通俗文章里都对此有所介绍。不过，这个数字具体是指整个卫星系统中的所有卫星的时钟都有这样的误差，还是什么别的意思，目前尚未有清楚的说明。更精确的计算还在进行中（M. Pössel and T. Müller, in progress）。
[73]关于GPS系统涉及的广义相对论效应问题，下文中有很好的概述：Neil Ashby, “Relativity in the Global Positioning System,” Living Reviews in Relativity 6 (2003): article no. 1, https://link.springer.com/article/10.12942/lrr-2003-1。
[74]来自叶军分享的信息。参见论文：E. Oelker, et al., “Optical Clock Intercomparison with 6×10–19 Precision in One Hour,” arXiv eprints (February 2019), https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/2019arXiv190202741O。
