8.5 求解双层显式差分格式的方法
例8.2 在一维波动方程（8.16）中，求解域为[0，L]，初始条件为u（x，0）=
=x（L-x），左边界条件为u（0，t）=u（L，t）=0，它的解析解为
下面介绍动态模板的制作。
第一步，设计迭代计算。在“文件”菜单下选择“选项”，在“选项”对话框中选择“公式”副对话框。选择启用迭代计算，最多迭代计算次数设为1，最大误差设为0.001并单击“确定”按钮。
第二步，输入已知数据。在单元格A2、B2和C2中分别输入区间的系数a、求解区域长度L和计算停止时间T（这里输入“1”“1”和“0.5”）；在单元格D2、E2、F2和G2中分别输入空间步长、时间步长、常数λ=
和计算总计算次数的公式（这里输入“0.1”“0.001”“=E2/D2”和“=C2/E2”）；在空单元格H2中输入实现循环的表达式“=IF（H2＜G2/3，H2+1，1）”；在单元格I2中输入计算正在计算时刻的表达式“=（3*H2+1）*E2”，如图8.7所示。
图8.7 输入参数和循环迭代控制语句
第三步，输入初始条件和边界条件。在单元格B4中输入区间的左边界“=0”，在单元格C4中输入“=B4+$D$2”；在单元格区域A5：A10中输入显示计算步数的表达式“=＂k=0＂”“=＂k=1＂”“=＂k-3=＂&3*H2-2”“=＂k-2=＂&3*H2-1”“=＂k-1=＂&3*H2”和“=＂k=＂&3*H2+1”；在单元格区域B5：B10和L5：L10中输入左右边界条件（这里都为0）；在单元格C5中用初始条件输入“=SIN（3*PI（）*C4/$B$2）”；在单元格C6中用式（8.21）输入“=0.5*（$A$2*$F$2）^2*（B5+D5）+（1-（$A$2*$F$2）^2）*C5+$E$2*C4*（$B$2-C4）”。选中单元格区域C4：C6，把鼠标指针移到单元格C6的右下角，当其变成“
”符号时，按住左键向右拖动到单元格K6，完成在区间[0，L]内在每一个节点处初始值的计算。
第四步，计算前四步的数值解。在单元格C7中用差分格式（8.18）输入“2*C6-C5+（$A$2*$F$2）^2*（B6-2*C6+D6）”。选中单元格C7，把鼠标指针移动到单元格C7的右下角，当其变成“
”符号时，按住左键向右拖动到单元格K7，就得到第二步的数值解；选中单元格区域C7：K7，把鼠标指针移动到单元格K7的右下角，当其变成“
”符号时，按住左键向下拖动三列，就得到前四步的数值解。(https://www.daowen.com)
第五步，实现循环计算。为了实现循环计算，将单元格C7和C8中的计算公式分别改为“IF（$H$2=1，2*C6-C5+（$A$2*$F$2）^2*（B6-2*C6+D6），2*C9-C8+（$A$2*$F$2）^2*（B9-2*C9+D9））”和“=IF（$H$2=1，2*C7-C6+（$A$2*$F$2）^2*（B7-2*C7+D7），2*C10-C9+（$A$2*$F$2）^2*（B10-2*C10+D10））”。选中单元格区域C7：C8，把鼠标指针移动到单元格C8的右下角，当其变成“
”符号时，按住左键向右拖动到单元格K8。此时，如果我们按功能键F9，则在单元格H2的值每一次增加1，循环在1～167之间，就这样在单元格区域B10：L10内得到单元格I2的值在对应时刻的数值解，如图8.8所示。
图8.8 动态数值解
第六步，计算解析解。如图8.9所示，单元格区域B12：L12对应的是x∈[0，L]；单元格区域B13：L13对应的是式（8.22）中表达式
的计算值；单元格区域B14：L14对应的是式（8.22）中表达式
在n=1时的计算值；单元格区域B24：L2对应的是式（8.22）对应的计算值；单元格区域B25：L25对应的是解析解与数值解的绝对误差。
第七步，绘制图像。在一个坐标系内同时绘制解析解与数值解图像，在另一个坐标系内绘制误差图，图8.10（a）是当t=0.337（即第k=337）时解析解与数值解的比较图，图8.10（b）是误差图。
图8.9 解析解与误差
图8.10 当t=0.337时解析解与数值解的比较图和误差图
