9.3　进行假设检验

1.几种假设检验

（1）假设检验的基本概念

假设检验的问题是不同于参数估计问题的另一类统计推断问题。根据样本提供的信息，作出统计假设之后，要采用适当的方法来决定是否应该接受假设，这类问题称为假设检验。

假设检验使用了一种类似于“反证法”的推理方法，它的特点是先假设总体某项假设成立，计算其产生的结果。如果产生不合理的结果，则拒绝原先的假设；如果并没有产生不合理的结果，则不能拒绝原先假设，从而接受原先假设。

如果对总体有两个对立的假设H0和H1，习惯上把其中的一个H0称作原假设（或基本假设或零假设），而将另一个H1称为备择假设（或对立假设）。

（2）正态总体均值的假设检验

①假设总体方差σ2已知时，正态总体均值μ的检验

设总体X～N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，和S2分别为样本均值和方差。

a.双侧检验。H0：μ=μ0。H1：μ≠μ0。其中μ0为已知。

取统计量当H0成立时，有Z～N（0，1）。对于给定的α，有P{|Z|＞zα/2}=α，其中φ（zα/2）=1-。于是得到假设H0的拒绝域：

即（-∞，zα/2）∪（zα/2，+∞）。以上检验法称作Z检验法。

b.右侧检验。H0：μ≤μ0。H1：μ＞μ0。其中μ0为已知。

取统计量和随机变量，当H0为真时，有Z1～N（0，1）。对于给定的显著性水平α，存在zα，使P{Z1＞zα}=α，φ（zα）=1-α，当H0为真时，有P{Z＞zα}≤P{Z1＞zα}=α，从而原假设H0的拒绝域为

即（zα，+∞）。

c.左侧检验。H0：μ≥μ0。H1：μ＜μ0。其中μ0为已知。

取统计量和随机变量，当H0为真时，有Z2～N（0，1）。对于给定的显著性水平α，存在u2α，使P{-Z＞zα}=α，当H0为真时，有P{Z＜-zα}≤P{Z2＞-zα}=α，从而原假设H0的拒绝域为

即（-∞，zα）。

②假设总体方差σ2未知时，正态总体均值μ的检验

a.双侧检验。H0：μ=μ0。H1：μ≠μ0。其中μ0为已知。

取统计量当H0成立时，有T～t（n-1）。对于给定的α，有P{|T|＞tα/2（n-1）}=α，通过查t分布分位数表，得统计量T的临界值tα（n-1）。于是得到假设H0的拒绝域：

即（-∞，-tα/2（n-1））∪（tα/2（n-1），+∞）。以上检验法称作T检验法。

b.右侧检验。H0：μ≤μ0。H1：μ＞μ0。其中μ0为已知。

取统计量和随机变量～t（n-1），当H0为真时，T≤T1。对于给定的显著性水平α，存在t2α（n-1），使P{T1＞t2α（n-1）}=α，所以P{T＞tα（n-1）}≤P{T1＞tα（n-1）}=α，从而原假设H0的拒绝域为

即（tα（n-1），+∞）。

c.左侧检验。H0：μ≥μ0；H1。μ＜μ0，其中μ0为已知。

取统计量和随机变量～t（n-1），当H0为真时，-T≤-T2。对于给定的显著性水平α，存在tα（n-1），使P{-T2＞tα（n-1）}=α，所以P{T＜-tα（n-1）}≤P{T2＜-tα（n-1）}=α，从而原假设H0的拒绝域为

即（-∞，tα（n-1））。

（3）正态总体方差的假设检验

①假设总体均值μ已知时，正态总体方差σ2的假设检验

a.H0：σ2=。H1：σ2≠。其中，为已知数。

②假设总体均值μ未知时，正态总体方差σ2的假设检验

即（n-1），+∞）。

2.Excel假设检验模板的制作与设计

Excel假设检验模板的设计与制作过程用以下几个例子来阐述。

（1）正态总体均值μ的假设检验

例9.4 某切割机在工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5mm，标准差是0.15，仅从一批产品中随机抽取15段进行测量，其结果如下（单位为mm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7，10.2。显著性水平为α=0.05。

①该切割机切割的每段金属棒长度是否等于10.5？

②该切割机切割的每段金属棒长度是否大于10.5？

③该切割机切割的每段金属棒长度是否小于10.5？(https://www.daowen.com)

第一步，输入样本值。为了提高模板的通用性，将单元格区域A3：B17设计为样本值输入区域，将本例中样本Xi的15个值输入单元格区域A3：A17，如图9.12所示。

第二步，输入已知量。将总体均值u=10.5输入单元格E2，总体标准差σ=0.15输入单元格E3，将显著性水平α=0.05输入单元格E4。

第三步，计算各统计量和参数。将样本均值公式“=AVERAGE（A2：B17）”输入单元格E6，样本容量计算公式“=COUNT（A2：B17）”输入单元格E7，计算μα的公式“=ROUND（NORMSINV（1-E4/2），3）”输入单元格E8，计算μ2α的公式“=ROUND（NORMSINV（1-E4），3）”输入单元格E9，计算统计量绝对值的公式“=ABS（E6-E2）/（E3/SQRT（E7））”输入单元格E10，如图9.13所示。

图9.12　样本输入区

图9.13　样本已知参数值

第四步，制作决策模板。如图9.14所示，在单元格H3、I3和J3中分别输入3种假设公式“=＂H0：μ=＂&E2&＂，H1：μ≠＂&E2”“=＂H0：μ≤＂&E2&＂，H1：μ＞＂&E2”和“=＂H0：μ≥＂&E2&＂，H1：μ＜＂&E2”；在单元格H4、I4和J4中分别输入生成拒绝域区间的公式“=＂（-∞，-＂&E8&＂）∪（＂&E8&＂，+∞）＂”“=＂（＂&E9&＂，+∞）＂”和“=＂（-∞，-＂&E9&＂）＂”，在单元格H5、I5和J5中分别输入决策公式“=IF（ABS（E10）＞E8，＂拒绝原假设＂，＂接受原假设＂）”“=IF（E10＞E9，＂拒绝原假设＂，＂接受原假设＂）”和“=IF（E10＜（-E9），＂拒绝原假设＂，＂接受原假设＂）”。

图9.14　σ2已知时，总体均值μ的假设检验模板

例9.5 某切割机在工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5mm，仅从一批产品中随机抽取15段进行测量，其结果如下（单位为mm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7，10.2。显著性水平为α=0.05。

①该切割机切割的每段金属棒长度是否等于10.5？

②该切割机切割的每段金属棒长度是否大于10.5？

③该切割机切割的每段金属棒长度是否小于10.5？

第一步，输入样本值。同例9.4一样。

第二步，输入已知量。总体均值和显著性水平的输入如图9.15所示。

第三步，计算各统计量和参数。样本均值、样本容量等输入如图9.15所示。将计算tα（n-1）公式“=ROUND（TINV（E3，E7-1），3）”输入单元格E7，计算t2α（n-1）的公式“=ROUND（TINV（2*E3，E7-1），3）”输入单元格E8，计算统计量的绝对值公式“=ABS（E5-E2）/（E6/SQRT（E7））”输入单元格E9，如图9.15所示。

第四步，制作决策模板。同例9.4一样，如图9.16所示。

图9.15　样本已知参数值

图9.16　σ2未知时，总体均值μ的检验模板

（2）总体方差σ2的假设检验

例9.6 某切割机在经常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5mm，标准差是0.15，仅从一批产品中随机的抽取15段进行测量，其结果如下（单位为mm）：10.4，10.6，10.1，10.4，10.5，10.3，10.3，10.9，10.6，10.8，10.5，10.7，10.2，10.7，10.2。显著性水平为α=0.05。

①该切割机切割的每段金属棒长度的标准的差是否等于0.15？

②该切割机切割的每段金属棒长度的标准差是否大于0.15？

③该切割机切割的每段金属棒长度的标准差是否小于0.15？

第一步，输入样本值。同例9.4一样。

第二步，输入已知量。总体均值、总体标准差和显著性水平的输入如图9.17所示。

图9.17　样本已知参数值

第三步，计算各统计量和参数。样本均值、样本容量公式的输入如图9.15所示。将确定）的公式，“=ROUND（CHIINV（E4/2，E7），3）”“=ROUND（CHIINV（1-E4/2，E7），3）”“=ROUND（CHIINV（E4，E7），3）”和“=ROUND（CHIINV（1-E4，E7），3）”分别输入单元格E8、E9、E10和E11，计算统计量的公式“=（SUMSQ（（A3：B17）-$E$2）-COUNTBLANK（A3：B17）*E2^2）/（E3^2）”输入单元格E12中，如图9.17所示。