行星的引力与称量

第十二节 行星的引力与称量

我们已经了解了行星环绕太阳的运行轨道，但是轨道所遵循的并不是行星运动的基本法则，行星运动的基本法则只受万有引力的支配。牛顿所阐述的万有引力定律非常详尽，无须做任何补充。万有引力定律的内容是，宇宙间物质的每一个粒子都对其他所有粒子产生引力，这个力与粒子之间距离的平方成反比。这是目前已知的唯一自然法则，其产生的效力具有绝对普遍性和永恒性。自然界的所有其他进程都会因为冷和热、时间或地点、其他物体的存在与消失而以某种方式发生变化或调整，但是人类对物质的任何干预丝毫没有改变万有引力。对于两个物体，不管我们如何处置它们，不管我们在它们之间设置什么障碍，不管它们移动得多么快，二者相互吸引的力都完全相等。

行星的运动受到彼此之间引力的支配。即使只有一颗行星围绕太阳运动，它也得运动下去，原因只有太阳的引力。纯粹的数学计算表明，这样的行星将走出一个椭圆，太阳在其中的一个焦点上。这颗行星将在这个椭圆上一圈又一圈地持续移动直至永远。根据万有引力定律，行星之间一定相互吸引。而这个相互的引力远小于太阳的引力，原因是太阳系中行星的质量比中央天体的质量小。这个相互的引力导致行星没有走出椭圆形。它们的轨道并非标准的椭圆形，只是非常接近椭圆形。它们的运动问题仍然是一个纯粹的数学论证问题。自牛顿以来，世界上最有才华的数学家都从事这方面的研究，每一代都研究并且发展前人的成果。牛顿之后100年，拉普拉斯和拉格朗日（Lagrange）揭示出行星近似椭圆形的轨道逐渐改变着形状和位置。这些变化提前几千年、几万年甚至数十万年就能计算出来。因此，我们已经得知地球围绕太阳运行轨道的偏心率正在一点点减小，并且将在4万年的时间里继续减小；此后这个轨道偏心率又将增大，进而经过比4万年更长的时间将会比现在更大。所有的行星都将如此。行星的轨道在数万年的时间里一点点地反复改变着形状，正所谓“永恒的大钟以时代计，就像我们的钟表以秒计”。如果不是因为数理天文学家对于行星运动的实际预测惊人地准确，普通的读者则要怀疑对未来数千年预言的准确性。这一准确性是解决了测量每个行星施加给其他所有行星运动的影响这一难题而得到的。刚才已经说过，如果没有其他任何天体的吸引，每一颗行星都会在固定不变的椭圆形轨道上围绕太阳运行，我们可以通过假设这种情况来预测行星的运动。此时我们的预测一次又一次地出现误差，误差可以达到几分之一度；也许预测的时间长，误差会更大。

然而，将所有其他行星的引力考虑在内，预测就会非常准确，甚至连精确的天文观测都难以看出明显的误差。在前面章节提到的海王星的发现历史就是这些预测准确性的明显例证。

如何称量行星

现在我竭力让读者了解数理天文学家是如何计算出这些了不起的结果的。显然，为了进行计算他们必须知道每一颗行星施加给其他行星的引力，这与施加引力的行星的“质量”成正比。我们可以说，当天文学家测量行星的质量时是在给它们称重。其中的原理与屠夫在弹簧秤上称量火腿的原理相同。屠夫拿起火腿就能感受到火腿受到的地球的引力，当他把火腿挂到秤钩上，这个引力就从他的手上传递到了秤的弹簧上，引力越大弹簧向下拉得越长。刻度显示的就是拉力的强度，这个引力其实就是地球对火腿的吸引力。根据力学定律，火腿对地球的吸引力等于地球对火腿的吸引力，所以屠夫所做的其实是称量火腿对地球吸引力的大小或者强度，他把这个引力叫作火腿的重量。同理，天文学家求得一个天体的重量就是根据该天体对其他天体的吸引力的强度。

将这个原理应用于天体便立刻遇到看似无法克服的困难，因为不能到天体上去称重。那么如何测量天体的引力呢？为了回答这个问题，首先必须准确地解释物体的重量和质量之间的区别。物体的重量在世界各地都不尽相同，一个物体在纽约重30磅，在格陵兰岛用弹簧秤称量就是30磅零1盎司，在赤道至少将近31磅。这是因为地球不是标准的球体，有一点扁，因此重量因为地点而发生变化。重30磅的火腿在月球上称量仅为5磅，因为月球比地球小，也比地球轻。但是放到月球上的火腿和在地球上的是一样的。火腿在火星上的重量又不一样，在太阳上又会是另外一个重量，大约800磅。由此可见，天文学家不说行星的重量，因为重量取决于称重的地点；而说行星的质量，意为行星在物质上有多少，无关乎在何处称量。(https://www.daowen.com)

与此同时，我们可以认同天体的质量为其在某个地点的重量，比如说纽约。我们无法想象行星在纽约的情形，因为行星或许比地球都大，所以我们所想象的是：假设一颗行星等分为1万亿份，其中一份拿到纽约并称重，很容易称出重量是多少磅或者多少吨，然后用重量乘以1万亿便得出这颗行星的重量。天文学家或许以此作为这颗行星的质量。

经过上述说明，我们来看看地球的重量是如何称量的。我们使用的原理是，比重相同的球体吸引在其表面上的小物体的力与其直径成正比。例如，直径是2英尺的物体其吸引力是直径为1英尺的物体吸引力的2倍，直径是3英尺的物体其吸引力是直径为1英尺的物体的3倍，以此类推。那么，地球的直径大约为4千万英尺，其吸引力就是直径为4英尺的物体的1千万倍。由此可见，如果我们制作一个小的地球模型，直径为4英尺，比重为地球的平均比重，那么其对微粒的吸引力是地球吸引力的1/10 000 000。我们已经在本节讲述了如何在地球上实际测量这样一个模型的吸引力，得出的结果是地球的全部质量是相同体积的水的质量的5.5倍。由此便可计算出地球的质量。

接着我们讲行星。我们已经讲过天体的质量或者重量根据其对其他某个天体的吸引力来测量。测量方法有两种。一种是根据一颗行星对其相邻的行星的吸引力，这个吸引力导致二者偏离没有这个引力的情况下二者运行的轨道。测量出偏离的差值，就能推算出引力的大小，进而计算出行星的质量。

显然，这种方法所需的数学计算过程非常精细与复杂。有卫星的行星可以用更加简单的方法，因为根据卫星的运动能够推算出行星的引力。第一运动定律告诉我们，运动的物体如果不受外力的作用，将做直线运动。据此，如果我们看到一个物体做曲线运动，我们便知道这个物体在其曲线运动方向上受到一个外力。从手中抛出的石头便是一个熟悉的例子。如果石头没有受到地球的吸引将一直沿着抛出的直线运动，直至完全脱离地球。但是在石头向上运动的同时因为受到地球引力的作用而不断下落，最终又会落到地面。显然，石头抛出的速度越快抛得越远，掠过的曲线轨迹越长。如果是一颗炮弹，其第一段曲线几乎是一条直线。如果在一座高山的山顶以每秒5英里的速度水平发射一颗炮弹，并且没有空气的阻力，那么炮弹轨迹的曲度将等同于地球表面的曲度，永远不会落到地球上，而是如同一颗小卫星在自己的轨道上围绕地球旋转。如果这种情况可以实现，只要知道炮弹的速度，天文学家便可计算出地球的引力。月球是一颗卫星，其运行犹如这颗炮弹，在火星上的观测者可以通过测量月球的轨道推算出地球的引力，就像地球上的人通过实际观测地球上落体的运动进行推算一样。

可见，像火星和木星这样有卫星环绕的行星，地球上的天文学家能够根据行星对其卫星产生的吸引力推算出行星的质量。计算方法非常简单，即行星与卫星距离的立方除以公转时间的平方。计算得出的商与行星的质量成正比。这个计算方法也适用于月球围绕地球的运动和行星围绕太阳的运动。我们用地球到太阳距离的立方除以一年之中天数的平方，即9300万英里的立方除以365.25的平方，便得到一个商数。我们姑且把这个数叫作太阳商数。然后，我们用月球到地球距离的立方除以月球公转周期的平方便得到另外一个商数，可以称之为地球商数。太阳商数大约是地球商数的33万倍。据此推断，太阳的质量是地球质量的33万倍——这么多个地球才能跟太阳一样重。

我用这个计算旨在说明这个原理，但绝不能认为这就是天文学家的工作，他们只做这种简单的计算。再说月球和地球，月球的运动和到地球的距离因为太阳引力的作用而发生变化，所以二者之间的实际距离是一个变量。天文学家实际上是通过观察每秒敲击一次的钟摆在不同纬度上的长度来得出地球引力的，然后通过非常精妙的数学方法精确地计算出与地球相距若干距离的小卫星的公转周期，并得出地球商数。

我已经指出，必须借助卫星才能求出行星的商数，幸而其他卫星的运动因为太阳的引力而发生的改变小于月球的。我们对火星的外层卫星进行计算，得出商数是太阳商数的1/3 085 000，由此可得火星的质量是太阳质量的1/3 085 000。根据相应的商数，木星的质量约是太阳质量的1/1 047，土星的质量是其1/3 500，天王星的质量是其1/22 700，海王星的质量是其1/19 400。

我所讲述的只是天文学家研究的重要原理。万有引力定律是其全部工作的基础。这个定律的表达需要数学计算，虽经历300多年的发展仍然不尽完善。测量卫星的距离不需要在夜晚进行，而需要积年累月的耐心，但精确程度并没有达到天文学家的期望。天文学家尽其所能使工作有所进展，必定会取得满意的成果，他们一直这样努力着并取得了各种各样的成就。