马克思致恩格斯189　曼彻斯特

［1865年底—1866年初于伦敦］

附　件

我上次在曼彻斯特的时候174你有一次曾经要我谈谈微分学。从下面这个例子中你可以完全弄清楚这个问题。全部微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我想就用这个例子来给你说明问题的实质。(https://www.daowen.com)

假设mAo是任意一条曲线，其性质（是不是抛物线、椭圆，等等）我们并不知道，在m这个点上要求作它的一条切线。

Ax是轴。我们对横座标Ax作一条垂直线mP（纵座标）。现在假设，n是曲线上无限地接近于m的一个点。如果我对轴作一条垂直线np，那末p就应该是无限地接近于P的一个点，而np就应该是无限地接近于mP的一条平行线。现在你再对np作一条无限小的垂直线mR。现在你如果假设横座标AP为x，纵座标mP为y，那末np=mP（或Rp）加一段无限小的增量［nR］ ，或者［nR］=dy（y的微分），而mR=（Pp）=dx。既然切线的这一段mn是无限小的，所以它同曲线本身相应的部分是吻合的。因此我可以把mnR看做是△（三角形），把△mnR和△mTP看做是相似三角形。所以：d（y=nR）：dx（=mR）=（y=mP）：PT（它对切线Tn说来是次切线）。所以次切线。这就是所有的曲线的各个切点的一般的微分方程。如果我现在需要进一步解这个方程，并利用它来确定次切线PT的长度（如果后者已经有了，我只要用一条直线把T和m这两个点连接起来，就可得出切线），那末我必须知道曲线的特性是什么。按照它的性质（例如抛物线、椭圆、蔓叶线等等），它有对于每个点的纵座标和横座标的确定的一般的方程，这种方程来自代数几何学。例如，如果曲线mAo是一根抛物线，那末我就知道y2（y是每个任意一点的纵座标）=ax，在这里a是抛物线的参数，而x是相当于纵座标y的横座标。

要是我把y的这个数值代入方程，那末我就应该首先找出dy，也就是说，求出y 的微分（这是当y 无限小地增长时附加于y　的部分）。如果y2=ax，那末我根据微分学知道，（dy2）=（dax）（当然我应该求出方程两边的微分），结果是2ydy =adx（d到处总是表示微分）。因此。如果我把dx的这个数值代入公式，那末就得出PT==（因为y2=ax）==2x。或者：抛物线的每一点m的次切线等于同一点的双倍的横座标。微分的量在运算中消失了。