欧拉与数学

欧拉与数学

“巧定羊圈”的故事

数学天才欧拉因“巧定羊圈”而被数学巨匠约翰·伯努利发现，并在他的影响和培养下，逐渐成长为18世纪数学界的中心人物。

那是在1719年，欧拉才12岁。父亲老欧拉准备盖一个羊圈，用100尺的材料把羊圈住。这一天，老欧拉在丈量土地，小欧拉在一旁帮忙。父子各拉住测绳的一端，当父亲把4根角桩打入地下时，小欧拉立即报出了计算结果：

“长40尺，宽10尺，羊圈面积400平方尺，正好需要篱笆材料100尺。”“我已经算过了。”

“如果长35尺，宽15尺，羊圈面积就能扩大125平方尺，不是更好吗？”老欧拉没有想到。

“如果长40尺，宽15尺，羊圈面积就扩大到600平方尺，可是需要篱笆材料110尺，而我们只有100尺材料啊。”

怎样用100尺的材料围成最大面积的羊圈呢？小欧拉在认真地想着，老欧拉非常高兴儿子有这样的想象力。

小欧拉终于算出来了，欣喜地告诉父亲：“把羊圈的长和宽都定为25尺，就能围成625平方尺的羊圈。”

小欧拉“巧定羊圈”的故事不胫而走，传到约翰·伯努利的耳朵里。这虽然是数学上一个简单的极值问题，不过年仅12岁的孩子，竟能想出这种方法，确实令人惊奇。约翰凭直觉预感这个聪明的孩子将成为一颗耀眼的数学明星。

非常爱才的约翰亲自登门拜访欧拉和他的父亲，当这位德高望重的教授见到欧拉时，这种感觉更加强烈，便要求老欧拉同意他带小欧拉去巴塞尔大学学习数学。

可是老欧拉不同意：“教授，我希望儿子成为一位神学家，而不是什么数学家。”

为什么老欧拉希望儿子成为神学家呢？这话还得从头说起。

列昂哈德·欧拉于1707年4月15日诞生在瑞士巴塞尔城附近的里恩村，父亲是一位爱好数学的基督教牧师，正因为如此，欧拉7岁时就在同龄孩子羡慕的目光下，被父亲送进巴塞尔神学校学习神学。

老欧拉心想，凭着自己在邻里的声望，儿子非常聪明，小欧拉长大后一定能成为教门后起之秀，说不定还能进入罗马教廷呢！每当想起儿子前程似锦，光宗耀祖，老欧拉心情格外舒畅，神采飞扬。

小欧拉在神学校专心听课，老师教的圣经，他能够熟背。圣经中，上帝创造天地万物，上帝无所不在无所不能的思想，欧拉坚信不疑。当他在课堂上学到了一些知识后，便对自然界充满信心，同时又困惑不解。比如，天上的星星有多少颗？父亲无法回答。

小欧拉便去问老师：“天上的星星总共有多少颗？”

老师非常惊讶，便故作镇静地说：“天空中的星星都是上帝亲手镶嵌上去的，具体数目不必要知道。”

“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”

老师茫然。

从此，小欧拉对上帝在信仰上开始动摇了，开始不专心听课，考试答非所问，头脑里总是在想：上帝真是无所不在吗？上帝在哪里呢？

神学校哪能容纳“叛逆”的学生，不久，欧拉被神学校开除。他丝毫不感到伤心，反而可以无拘无束地思考自己的问题。为了数清天上的星星，欧拉开始学习数学，而且学得津津有味。

正是由于学习数学，欧拉才有智慧去“巧定羊圈”。约翰·伯努利慧眼识英才，恳求老欧拉不要埋没了孩子的数学天赋，同意儿子学数学。老欧拉感到儿子神学的辉煌前程已成泡影，只好同意。

1720年，在约翰·伯努利教授的保举下，年仅13岁的欧拉踏进巴塞尔大学的校门，成为这所大学的学生。欧拉高兴万分，上课时不再像在神学校那样三心二意了，而是集中精力，勤奋学习，独立思考。

欧拉的确不负教授厚望，成绩突飞猛进，老师在课堂上讲授的内容已经不能满足他的需要了。约翰听说后非常满意，特地挤出宝贵的时间为他开小灶，单独辅导。

欧拉从约翰那里了解到当时欧洲最新的数学成果，知识和才智日益增长，并很快地进入数学的前沿领域，走上了数学研究的道路。

由于成绩特别优秀，15岁时他就在巴塞尔大学毕业了。18岁时，欧拉开始发表数学论文。第二年，也就是1726年，他发表了讨论船桅最佳位置的选择的论文，而荣获法国科学院的奖金。

1727年，在彼得堡任职的丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉受俄罗斯女皇叶卡特琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院士。开始，他任丹尼尔的助手，1733年丹尼尔回瑞士后，欧拉接任丹尼尔的数学教授席位，成为彼得堡科学院数学部的领导人，直到1741年。

彼得堡的天气非常寒冷，特别是冬季来临时，寒风阵阵，飞雪飘飘，就是在屋内也几多凉意，使欧拉很不适应。彼得堡的工作条件也相当艰苦，欧拉的房里只有一张宽大的写字桌和大量的书籍。

对科学执著追求的欧拉不计较这些，废寝忘食地进行研究。饿了，就啃几片面包；困了，就揉揉眼睛，经常在昏暗的灯光下工作到天亮，又继续第二天的工作。

长期的工作，过度的劳累，紧张的研究，使欧拉的视力急剧下降，1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明。医生劝说要注意休息，减少用眼睛，不然连左眼也保不住。

要放弃自己热爱的事业是非常痛苦的，然而继续坚持研究又将双目失明，成为睁眼瞎，真是难以两全。欧拉在这种局面下，毅然地谢绝了医生的好心劝说，又投入到研究中。

辛勤的汗水换来了学术上丰硕的成果。欧拉还为俄国政府解决了很多科学难题。他承担了菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定。还为俄国政府编写教材，制定度量衡标准，绘制地图等等。

1741年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请到柏林科学院任职数学物理所所长。1766年，受叶卡特琳娜女皇的邀请，重返彼得堡，直到临终。

欧拉的成果

欧拉的一生，获得的成果众多，涉猎的范围广泛，包括：几何、代数、数论、分析、微分方程、变分法、力学、声学、光学、热学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等等。他是复变函数论的先驱者，变分法的奠基人，理论流体力学的创始人。

在微积分方面，继牛顿和莱布尼茨提出微积分后，出现了许多数学成果，但联系不紧，有待整理。欧拉通过《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等著作，把前人的成果加以总结定型，并注入自己的见解，构成了18世纪微积分的主要内容。

欧拉澄清了函数的概念，基于量的代数关系，给出了函数概念的新定义。他提出一个表示三角函数与指数函数间关系的著名的欧拉公式。指出了如何利用点变函数去计算实积分值。他是复变函数论的先驱者，复变函数论在数学及流体力学中有广泛的应用。

他研究了二元函数的极值，给出了全微分的可积条件，引出了很多函数的无穷幂级数和无穷乘积的展式。

他首先把导数归作为微分学的基本概念，提出了二阶偏导数的演算，并给出了关于微分后的结果与微分次序无关的理论。他给出了用累计积分计算二重积分的方法，并讨论了二重积分的变量替换问题。

在微分方程上，欧拉深入考虑了一般常系数线性微分方程的求解方法，开创了这类方程的现代解法，极大地丰富了诞生不久的微分方程理论。他研究了微分方程的幂级数解法，解决了那些不能用通常积分求解的微分方程。

在变分法的研究中，他给出变分问题的一般解法，奠定了变分法的基础。欧拉在微积分方面，用形式化的函数理论，把微积分从几何学的束缚中彻底解放出来，使其建立在算术和代数的基础上，从而为完整实数系统作为微积分学的基本论证打开了通道，把微积分“带大成人”。

在初等数学领域，欧拉的《无穷小分析引论》是数学史上第一本沟通微积分与初等代数的杰作；《对代数的完整介绍》系统总结了代数学理论，标志初等代数发展史的基本结束。

欧拉在1735年解决了“哥尼斯堡的七桥问题。”

波罗的海岸边的哥尼斯堡，是一座古老的城市，它风景秀丽，气候宜人，建筑优美，风俗淳朴。一条河流，穿过市区，形成两个小岛。哥尼斯堡人利用这个天赐的自然条件，把两个小岛打扮成美丽的花园，为城市又添一景。为了方便人们游玩，他们造了7座桥，把小岛和河岸连接起来。

从此，一对对情侣手挽手、肩并肩去那美丽的小岛，促膝谈心，窃窃私语，柔情万千；一队队老者去那芳香的花园，欣赏风景，锻炼身体，延年益寿。

不知是谁提起，哪个人能一次走过7座桥，每座桥只走一次，还能回到出发点。可是没有人成功。

从此，哥尼斯堡七桥问题传开了，吸引了无数的游客。他们一方面来欣赏游玩，一方面想碰碰自己的运气，亲自走一走，希望找到答案。他们在7座桥上走过来，又走过去，日复一日，年复一年，都失望而归。

七桥问题成为欧洲闻名的难题。

当欧拉得知七桥问题时，也产生了极大的兴趣。他想，既然那么多人都走不通，是不是不可能存在那样的走法呢？于是他用“穷举法”检查所有的路线，说明他的设想是正确的。

欧拉又进一步地用“位置几何学”进行了证明。

这一天，哥尼斯堡花园依然游人如潮，他们欢声笑语，使小岛呈现勃勃生机。很多人还是在桥上走来走去，似乎非要找到正确的答案不可。桥上，有一位从彼得堡来的独眼青年，向热衷于七桥问题的人们郑重宣布：“一个人要一次过7座桥，而每座只走一次，这是不可能的。”

哥尼斯堡七桥难题，终于解决了。

欧拉对现代数学语言也作出了贡献，许多常用符号都起源于他。1734年，用f（x）作为函数的记号；1736年，倡导用π表示圆周率，用e表示自然对数的底；1748年，创用了正弦sin，余弦cos，1753年创用了正切tg；1755年创用Σ表示求和；1777年创用i表示；还建议记作三角形的边和A、B、C记作它们的对角，大大简化了三角公式。

在应用数学方面，欧拉以微积分为主要数学方法，对力学、光学、声学、热学以及多种工程技术进行广泛的研究，取得了重要的成就。

在力学中，他继承和发展了丹厄尔的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，并以流体力学和船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》于1759年获巴黎科学院奖金。

他还把数学应用于天文研究，创立了关于月球运动的第二种理论。欧拉认为一个科学家“如果是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那些引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。”

欧拉是数学上最多产的科学家，他一生中共发表论著500多种，加上他生前没有发表和出版的手稿，多达800种以上。欧拉逝世后，数学史家把他的著作编成全集出版，竟达72卷。

欧拉的著作，包含了很多开创性的成果，并且在表述上思路清晰，条理性强，富有启发性。他的行文优美流畅，淋漓尽致地表露了自己的思想和发现。有人赞誉欧拉是“数学界的莎士比亚”。

坚强的意志

有人可能认为，欧拉成果卓越，著述如林，肯定是条件优越，并且牺牲了生活的所有其他乐趣而换来的。

其实不然。欧拉并没有像牛顿、莱布尼茨那样终身未婚，把所有的时间都用在科学研究上。相反，他结了婚，并且有13个孩子，尽量帮助妻子减轻负担，关心家庭，关心儿女，也和孩子们做游戏，也给孩子们讲故事，他的许多不朽著作都是在膝上坐着孩子、身上背着孩子的情况下写出来的。

欧拉的研究条件并不优越，反而在生活在道路上连遭不幸。

欧拉非常不适应彼得堡寒冷的天气，但他具有坚韧的毅力。室外的雪花飘飘扬扬地飞着，室内的欧拉通宵达旦地工作着。过度的劳累，使欧拉染上眼疾，1735年，28岁的欧拉右眼失明。

面对如此可怕的打击，欧拉没有被打倒，而是不顾眼疾，继续用一只眼睛进行研究，使得左眼视力很快衰退。但欧拉没有消沉，他深知自己的左眼将会完全失明，便抓紧最后的时光，加速研究和著书进程。

1766年，厄运终于又向他袭来，左眼也完全丧失了视力。

人们可能认为，雪上加霜的欧拉这下该要停止工作了。古希腊数学家埃拉多色尼就是由于害眼病失明，无法忍受不能读书不能研究的痛苦，绝食而死。

欧拉呢？

欧拉是坚强的，他认为残疾只能给庸人提供懒惰的借口，不会成为坚强者不可逾越的障碍。欧拉活了下来，用最大的毅力战胜黑暗，用口授和请助手笔录的方法，坚持研究。

不幸的事接踵而来，1771年彼得堡的大火殃及欧拉的住宅，虽然欧拉被人救出，幸免一死，但是他的书籍和手稿全部化为灰烬。

双目失明的老人还能经得住这样沉重的打击吗？别人不能，但欧拉能！双目失明的痛苦已经经过了，既然看不见东西，书籍也就无所谓了，但手稿是科学的财富，一定要把它整理出来。

1776年，爱妻柯黛琳娜病故，欧拉伤心地流下了痛苦的热泪。

在这些不幸面前，欧拉擦干眼泪，顽强拼搏。在双目失明的17年中，他凭借惊人的记忆力和罕见的心算能力，竟然口述了400篇左右的论文和10余部著作。其中艰辛，谁人知晓？所付心血，如何计量？

1956年，美国数学家冯·诺伊曼称欧拉为“数学家之英雄”。

作为一个数学家，欧拉的贡献是卓著的，美国数学史家克来因说：“没有一个人像他那样多产，像他那样巧妙地把握数学；也没有一个人能收集和利用代数、几何、分析的手段去产生那么多令人钦佩的成果。他是顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练的巨匠”。

作为一个普通的人，欧拉的形象更高大。欧拉的品德是高尚的，他在和欧洲众多学者的通信中，经常毫无保留地把自己的发现告诉别人，为他人的成功创造条件。

欧拉曾考虑过“等周问题”的解法，在即将发表的时候，收到了年仅19岁的法国青年拉格朗日的来信，信中对“等周问题”提出了比较新颖的解法，但没有达到欧拉的深度。

欧拉把自己的文稿压下，使拉格朗日的这篇文章得以发表，并在数学界崭露头角。后来欧拉又向腓特烈大帝推荐30岁的拉格朗日接替他在柏林科学院物理数学所所长的职务，使拉格朗日才华大展。

欧拉，这位杰出科学家的精神、性格和进取心，赢得了成千上万的历代数学工作者的敬仰。

法国数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们大家的老师。”

1783年9月18日，欧拉“停止了生命，也停止了计算”。