康托创立集合论

早在1638年，意大利天文学家伽利略发现了这样一个问题:全体自然数与全体平方数，谁多谁少?不仅伽利略对此困惑不解，许多数学家也回答不了这个问题。谁又会想到，这一问题却为现代数学基础——集合论的诞生播下了种子。

集合论是19世纪末德国数学家乔治·康托创造的。由于它深入到数学的每一个角落，所以成为一切数学分支的基础。英国哲学家、数学家罗素称赞康托的发现“或许是我们这个时代可引以为自豪的最伟大的事件”。

勤勉的康托

乔治·康托于1845年3月3日出生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年，康托全家迁往德国法兰克福。康托一生主要时光是在德国度过的。

康托有弟妹六人，他是老大。父亲从小就给他们灌输宗教方面的教育，并培养他们自信、自强和奋斗精神。父亲在给15岁的康托的一封信中写道:“你的父亲，或者说，你的父母以及在俄国、德国、丹麦的其他家人都在注视着你，希望你将来能成为科学地平线上升起的一颗明星。”这封信始终陪伴着康托，成为康托终生奋斗的一个动力。

年轻的康托在一所寄宿学校读书，操行评语上写着:“他的勤勉和热情堪称典范，在初等代数和三角方面成绩优异，其行为举止值得赞扬。”他是一个有很高天赋、全面发展的学生，在数学方面尤为突出。但父亲并不希望儿子献身纯粹数学，希望儿子能够学工程学。1862年，康托上了苏黎世大学，次年又转入柏林大学学习。当时，维尔斯特拉斯、库默尔等著名数学家都在柏林大学任教。受他们的影响，康托放弃了当工程师的打算，转为研究纯粹数学。

他22岁时获得柏林大学数学博士学位，博士论文是关于数论方面的。他在博士论文中提出了一些奇异的观点，这在常人看来似乎有些离经叛道。他却认为，数学中提问的艺术比起解法来更为重要。后来，康托对数学独特的贡献就在于他以特殊的提问方式开辟了广阔的研究领域。

1869年康托在哈雷大学担任助教，主要研究数论、不定方程和三角级数。

集合论的诞生(https://www.daowen.com)

从古希腊时候起，对“无限”问题的研究就一直是数学家努力攻克的堡垒之一，但这一工作极其困难。比如，某种无穷多事物的计数问题，两类无穷多事物的个数的比较问题等。人们对此类问题的认识还不够深入，致使数学中有许多遗留问题未能得到彻底解决。例如实数是否可数，实数有多少等等，在分析学中也留有不少的疑问。

到了19世纪下半叶，德国另一位大数学家戴德金作出了重大突破，他是对20世纪有极大影响的数学家。戴德金曾著文论及“无限”，认为一个系统如能和本身的一部分相似，则称为是无限的，否则是有限的。

在伽利略问题提出二百多年以后，1873年康托开始了有关集合和无限等问题具有变革意义的工作。他第一次系统地研究了无穷集合的度量问题，并给出了度量集合的基本概念:一一对应，以此作为衡量集合大小的一把“尺子”。这样，如果两个集合之间能够建立一一对应的关系，就说它们的个数是相等的。康托利用自己的这一结论成功地证明了实数集合与自然数集合之间不能建立起一一对应关系，从而证明了实数集合是不可数的。这就解决了伽利略问题。

同年12月7日，他把自己这一发现写信告诉戴德金。以后，数学史家把这一天看作集合论的诞生日。

次年，29岁的康托结婚了。在度蜜月时他碰到了戴德金，两人进行了学术交流。康托继续戴德金的想法，认识到戴德金关于无限的定义是正确的，但是无限集彼此之间也是千差万别，并不相似，应该加以区别。接着，康托就把他的这些研究成果写成《论所有实代数的集合的一个性质》一文，发表在《克列尔数学杂志》上。这是关于集合论的第一篇论文，具有开创性意义。该文详细地论说了“无限”这一问题，受到世人注目，并成为后来的势和序数理论的基础。

以后十年间，他继续探索并发表了一系列论文，并以《集合论基础》为题作为专著于1883年出版。他开始了数学一个全新领域的研究。他发展了奠基于对实无穷作数学处理的超限数理论，并创造了相似于有限数运算的超限数算术。

集合论体现现代数学思想，它以全新的手段考察数学的研究对象，既能见树木，又能看到森林。对某一类问题的研究，像蘑菇一样成堆成片地作出发现。邻域、映射、线性空间、结构、群、环、域等一系列现代数学概念，都建立在集合论之上。

集合论中的连续统假设更是数学问题来源于几何、力学、物理等方面的现实问题的一个范例。它是康托在1882年提出的一个猜想:在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数。直观地讲，就是实数有多少的问题，一条直线上点有多少的问题。一百年来，经过许多著名数学家的不懈努力，集合论取得了一些重大进展，而且为了解决它也找到一些著名的方法，这些方法对解决其他数学问题起了积极的作用。但是就猜想本身来说，还需要继续寻求新的数学命题或采用其他有效途径去攻克。