1．3　数值修约

当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，宜采用几何平均值。一组试验值的几何平均值常小于它们的算术平均值。

（4）调和平均值

设有n个正试验值x1，x2，…，xn，则它们的调和平均值为：

调和平均值是试验值倒数的算术平均值的倒数，它常用在涉及与一些量的倒数有关的场合。调和平均值一般小于对应的几何平均值和算术平均值。

不同的平均值都有各自的适用场合，选择哪种求平均值的方法，主要取决于试验数据本身的特点，如分布类型、可靠性程度等。

1．2．2　误差的表示方法

1）绝对误差

试验值与真实值之差为绝对误差。若用x，xt，Δx分别表示试验值、真值和绝对误差，则有：

由于真值一般是未知的，所以绝对误差的准确值通常不能计算出来。根据具体情况，可估计出它的大小范围。设为最大绝对误差（也称为试验值x的绝对误差限或绝对误差上界），则有：

试验中，如果对某物理量只进行一次测量，通常可依据测量仪器上注明的精度等级或仪器最小刻度作为单次测量误差的计算依据。一般可取最小刻度值作为最大绝对误差，而取其最小刻度的一半作为绝对误差的计算值。对于同一真值的多个测量值，可通过比较绝对误差限大小来判断它们的精度大小。

2）相对误差

为了判断试验值的准确性，还必须考虑试验值本身的大小，故引出了相对误差。如果用ER表示相对误差，则有：

显然，小的试验值精度较高。由于xt和Δx都不能准确求出，所以相对误差也不能准确求出。与绝对误差类似，相对误差的大小范围可估计出来，即：称为试验值x的最大相对误差，或称为相对误差限或相对误差上界。实际计算中，由于真值xt为未知数，所以常将绝对误差与试验值或平均值之比作为相对误差。为适应不同的精度，相对误差常表示为百分数（%）或千分数（‰）。

3）算术平均误差

设试验值xi与算术平均值之间的偏差为di，则算术平均误差为：

算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小，但无法表达各试验值间的彼此符合程度。

4）标准误差

标准误差也称为均方误差、标准偏差或简称标准差。当试验次数n无穷大时，称为总体标准差，其定义为：

试验次数为有限次时，称为样本标准差，其定义为：

标准差不仅与一组试验值中的每个数据有关，也对其中较大或较小的误差敏感性很强，能明显反映出较大的个别误差。它常用于表示试验值的精密度，标准差越小则试验数据精密度越高。

1．2．3　误差的来源与分类

误差根据其性质或产生的原因，分为随机误差、系统误差和过失误差。

1）随机误差

随机误差是指在一定的试验条件下，由于试验过程中一系列偶然因素造成的、以不可预知的规律变化着的、不可完全避免的误差。当试验次数足够多时，随机误差的出现一般具有统计规律，大多服从正态分布，由于正负误差的相互抵消，误差的平均值趋向于零。所以多次试验值的平均值的随机误差比单个试验值的随机误差小，可以通过增加试验次数来减小随机误差。

2）系统误差

系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。系统误差的大小及其符号在同一试验中是恒定的，或在试验条件改变时按照某一确定的规律变化。试验条件一旦确定，系统误差就是一个客观上的恒定值，它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小。产生系统误差的原因是多方面的，可来自仪器（如砝码不准或刻度不均匀等），可来自操作不当，可来自个人的主观因素（如观察滴定终点或读取刻度的习惯），也可来自试验方法本身的不完善等。只有对系统误差产生的原因有充分认识，才能对它进行校正或设法消除。

3）过失误差

过失误差是一种显然与事实不符的误差，没有一定的规律，它主要是由于人员粗心大意造成的，如读数错误、记录错误或操作失误等。所以只要加强工作责任心，过失误差是可以完全避免的。

1．2．4　试验数据的精准度

误差的大小可以反映试验结果的好坏，但这个误差可能是由于随机误差或系统误差单独造成的，还可能是两者的叠加。为了说明这一问题，引出了精密度、正确度和准确度这3个表示误差性质的术语。

1）精密度

精密度反映随机误差的大小，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或一致程度。精密度的概念与重复试验时单次试验值的变动性有关。如果试验数据分散程度较小，则说明精密度高。试验值精密度高低的判断可用下述参数来描述：

（1）极差

极差是指一组试验值中最大值与最小值的差值。

（2）标准差

若随机误差服从正态分布，则可以用标准差来反映随机误差的大小。标准差的数值大小反映了试验数据的分散程度，σ或s越小，则数据的分散性越低，精密度越高，随机误差越小，试验数据的正态分布曲线也越尖。

（3）方差

方差即标准差的平方，也反映数据的分散性。

2）正确度

正确度是指大量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的一致程度，它反映了系统误差的大小，是指在一定的试验条件下，所有系统误差的综合。

由于随机误差和系统误差是两种不同性质的误差，因此对于某一组试验数据而言，精密度高并不意味着正确度也高；反之，精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的正确度。图1．1反映了精密度、正确度二者间的区别与联系。

图1．1　精密度、正确度的关系

3）准确度

准确度反映了系统误差和随机误差的综合，表示试验结果与真值或标准值的一致程度。

1．3　数值修约

1．3．1　有效数字

能够代表一定物理量的数字，称为有效数字。试验数据总是以一定位数的数字来表示，这些数字都是有效数字，其末位数往往是估计出来的，具有一定的误差。例如，用分析天平测得某样品的质量是1．5687g，共有5位有效数字，其中1．568g都是所加砝码标值直接读得的准确值，但最后一位数字“7”是估计出来的，是可疑的或欠准的。

有效数字的位数可以反映试验的精度或表示所用试验仪表的精度，不能随便多写或少写。多写一位数字，则该数据不真实，因而也不可靠；少写一位数字，则损失了试验精度，实质上是对测量该数据所用高精密度仪表的耗费。

数据中小数点的位置不影响有效数字的位数。例如，50mm，0．050m，5．0×104μm这3个数据的准确度是相同的，它们的有效数字位数都为2。

数字“0”是否是有效数字取决于它在数据中的位置。一般第一个非“0”数前的数字都不是有效数字，而第一个非“0”数后的数字都是有效数字。例如，数据29mm和29．00mm并不等价，前者有效数字是2位，后者是4位有效数字，它们是用不同精度的仪器测得的。所以在试验数据的记录过程中，不能随便省略末尾的“0”。需要指出的是，有些人为指定的标准值，末尾的“0”可以根据需要增减，例如原子量的相对标准是12C，它的原子量为12，它的有效数字可以视计算需要设定。

在测量或计量中应取多少位有效数字，可根据下述准则判定：

①对不需要标明误差的数据，其有效位数应取到最末一位数字为可疑数字（也称为不确切或参考数字）；

②对需要标明误差的数据，其有效位数应取到与误差同一数量级。

1．3．2　有效数字的运算

试验结果常常是多个试验数据通过一定的运算得到的，其有效数字位数的确定可以通过有效数字运算来确定。

①加、减运算。在加、减运算中，加、减结果的位数应与其中小数点后位数最少的相同。

②乘、除运算。在乘、除计算中，乘积和商的有效数字位数应以各乘、除数中有效数字位数最少的为准。

③乘方、开方运算。乘方、开方后的结果的有效数字位数应与其底数的相同。

④对数运算。对数的有效数字位数与其真数的相同。

⑤在4个以上数的平均值计算中，平均值的有效数字位数可增加一位。

⑥所有取自手册上的数据，其有效数字位数按实际需要取，但原始数据如有限制，则应跟从原始数据。

⑦一些常数的有效数字的位数可以认为是无限制的，如圆周率π、重力加速度等，可根据需要取有效数字。

⑧一般在工程计算中，取2～3位有效数字就足够精确了，只有在少数情况下，需要取到4位有效数字。

从有效数字的运算可以看出，每一个中间数据对试验结果精度的影响程度是不一样的，其中精度低的数据影响相对较大。所以在试验过程中，应尽可能采用精度一致的仪器或仪表，一两个高精度的仪器或仪表无助于整个结果精度的提高。

1．3．3　有效数字的修约

数值修约是一种数据处理方式，通过省略原数值的最后若干位数字，调整所保留的末位数字，使最后得到的值最接近原数。

1）修约间隔

修约间隔是确定修约保留位数的一种方式，修约值的最小数值单位。修约间隔的数值一经确定，修约值即为该数值的整数倍。确定修约间隔有以下几种：

①指定修约间隔为10－n（n为正整数），或指明将数值修约到n位小数。

②指定修约间隔为1，或指明将数值修约到“个”位数。

③指定修约间隔为10n（n为正整数），或指明将数值修约到10n数位，或指明将数值修约到“十”“百”“千”等数位。

2）进舍规则

最常用的基本修约规则是“四舍五入”，但是这种方法容易使所得数据产生较大且无法消除的系统偏差，这时可以使用以下数值修约规则：

①拟舍弃数字的最左一位数字小于5，则舍去，即保留的各位数字不变。

②拟舍弃数字的最左一位数字大于或等于5，且其后跟有非“0”数字时，则进1，即保留的末位数字加1。

③拟舍弃数字的最左一位数字等于5，且其右无数字或皆为“0”时，若所保留的末位数字为奇数（1，3，5，7，9）则进1，为偶数（2，4，6，8，0）则舍弃。

④负数修约时，先将它的绝对值按上述三条规定进行修约，然后在修约值前面加上负号。

⑤拟修约数字应在确定修约间隔或指定修约位数后一次修约获得结果，不得多次按修约规则连续修约。

⑥在对数值进行修约时，若有必要，也可采用0．5单位修约或0．2单位修约。

a．0．5单位修约（半个单位修约）。0．5单位修约是指按指定修约间隔对拟修约的数值0．5单位进行修约。将拟修约数值X乘以2，按指定修约间隔对2X依修约规则进行修约，所得数值（2X修约值）再除以2。

例：将下列数字修约到“个”数位的0．5单位（或修约间隔为0．5）。

b．0．2单位修约。0．2单位修约是指按指定修约间隔对拟修约的数值0．2单位进行修约。将拟修约数值X乘以5，按指定修约间隔对5X依修约规则进行修约，所得数值（5X修约值）再除以5。

例：将下列数字修约到“百”数位的0．2单位（或修约间隔为0．2）。