对地震动信号进行变换处理，从中提取出反映目标本质属性的特征信息，可为实现最终侦察目的——分类识别目标提供充分的依据。特征提取从数学上讲就是对原始数据进行变换，把在维数较高的测量空间中表示的模式映射到维数较低的特征空间中，最终得到能有效反映目标本质属性的特征。提取的特征应具有高度的代表性、典型性及稳定性。在信号处理中，目标信号特征分析可以在时域、频域或时频域等多方面进行。

一、信号的时域特征分析与识别

信号的过零数分析在有的文献资料中简称为过零分析。过零数分析就是对确定时间段内的时域信号将其幅值与设定阈值比较，计算信号正向越过或负向越过阈值的次数。

信号的过零数与信号的采样率有一定关系。在一定的采样率下，信号过零数与信号频谱具有密切关系。若信号是频率为f的正弦信号，则其过零数为

其中，k为比例系数。过零数与信号的频率成正比。

对于频率范围f1～f2的平稳高斯随机信号，单位时间内的过零点数与功率谱G（f）的关系为

由式（13-18）可以看出，若信号的主频段率较高，则单位时间的信号过零点数就较多。

二、信号的频域特征分析与识别

通过时域过零分析法可以将目标以较高的识别率分为人和车辆两大类。为了对两大类目标进一步分类，如将车辆进一步区分为是履带式车还是轮式车，需要寻求信号其他方面的有效特征。由于频域特征更能反映目标本质特性，因此在对信号做进一步处理时，可用傅里叶变换将采集的时域信号变换为频域中的等效形式。在频域分析中，主要研究信号频率组成、能量或功率随频率变化的规律。

用傅里叶变换来完成信号频率特征的提取，是信号处理的一个最基本、最传统的方法，也是最重要的方法。傅里叶变换将时域采集的时间序列变换成频域中的频谱，告诉我们信号的各个组成部分。该方法目前已发展得相当成熟，有一维快速傅里叶变换和二维快速傅里叶变换，在信号处理中占据着重要的地位。

研究表明，目标运动引起的地震动信号的频谱结构与目标与传感器之间的距离密切相关。在相同距离情况下，信号的幅值与目标的质量和速度有一定关系，目标质量越大，幅值越大；速度越大，相应幅值也越大。轮式车在近距离时主频带集中在28 Hz左右的较宽的频带内，在远距离时信号谱峰突出表现在20 Hz以下的低频瑞雷波、36 Hz附近的窄带纵波和74 Hz附近的发动机振动频率处。履带式车在近距离时主要频谱成分是38 Hz附近的频带，这主要是履带拍打地面的频率成分和地震波纵波成分。当目标与传感器之间的距离超过200 m时，信号中瑞利面波相对应的18 Hz左右的低频成分相对越来越强，谱峰增多。当目标与传感器之间的距离为300 m时，谱峰分化更多，但此时低频瑞利面波成分最强，且主要频率成分向更低方向移动，这主要是由于地层介质对地震波的影响引起的。另外，对比不同质量的59式坦克（36 t）和62式坦克（24 t），在近距离时62式坦克的频带更趋向于低频。

轮式车和履带式混合目标运动引起的地震动信号的频谱比较分散，而两种履带式车混合行进的地震动信号的频谱在18 Hz和38 Hz频率附近有明显的谱峰，且距离越远，谱峰越明显。

对于平稳随机信号，信号的功率谱分析也是频域分析中常用的方法之一。目标在一定的距离范围内运动引起的地震动信号，可以近似认为是广义平稳随机信号。因此在本节中将分析地震动信号的功率谱，以期找到有效的目标分类特征。

自相关函数是随机信号的一个重要统计量，它描述的是信号x（n）在n1、n2两个时刻的相互关系。对于广义平稳随机信号x（n），自相关函数定义为

如果信号是各态历经的，则上式的集总平均可以由单一样本的时间平均来实现，即

功率谱定义为自相关函数的傅里叶变换，即

在随机信号是各态历经的假设下，功率谱为

由Wiener-Khintchine定理可知，基于自相关函数rx（m）定义的两种功率谱是等效的。

注意，式（13-19）中的求均值运算是不能省略的，因为若省去后，由单个样本x（n）求得的功率谱不能保证得到集总意义上的功率谱，会带来一系列的估计质量问题。

可以证明，功率谱有如下重要性质：

（1）不论x（n）是实数还是复数，Px（ejω）都是ω的实函数，因此功率谱失去了相位信息。

（2）Px（ejω）对所有的ω都是非负的。

（3）若x（n）是实数，由于rx（m）是偶对称的，那么Px（ejω）还是ω的偶函数。

（4）功率谱曲线在（-π，π）内的面积等于信号的均方值。

地面目标运动引起的地震动信号是实际物理信号，实际探测到的只是x（n）的N个观察值xN（0），xN（1），…，xN（N-1），对n＞N时的值只能假设为零。因此，求rx（m）估计值的一种方法是

由于x（n）只有N个观察值，因此对于每一个固定的延迟m，可以利用的数据只有N-1-｜m｜个，且在0～N-1的范围内，所以实际计算时，式（13-23）变为

通过推导可知，对rx（m）的估计是一致估计。

功率谱估计方法有很多种，大致可分为两大类，即经典谱估计和现代谱估计。经典功率谱估计有两种基本方法，即周期图法和自相关法。现代谱估计又可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两类，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；后者有最小方差方法、多分量MUSIC方法等。谱估计中所用的统计量大都建立在二阶矩（如相关函数、方差、谱密度）的基础上。目前建立在高阶矩基础上的谱估计方法也有较大发展。

三、信号的时频特征分析与识别

1.短时傅里叶变换

短时傅里叶变换为

式中的e-jωt起频限作用，g（t）起时限作用，随着τ的变化，g所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f（t）逐步进入被分析状态。F（ω，t）大致反映了在时刻τ时，频率为ω的“信号成分”的相对含量，也就是说f（t）乘以一个相当短的时间窗g（t-τ）等价于取出信号f（t）在点t=τ附近的一个切片，所以短时傅里叶变换是信号f（t）在“分析时间”τ附近的局部谱。这样，短时傅里叶变换同时反映了信号频域和时域的信息。因此，短时傅里叶变换比一般傅里叶变换能提供更多的信号信息，且比一般傅里叶变换具有更好的可分性，更适于在目标识别中表征目标的特征。

短时傅里叶变换的输出是矩阵形式。由于矩阵奇异值是矩阵所固有的特征，且矩阵奇异值具有很好的稳定性，因此可选择矩阵的奇异值作为目标信号识别的特征。下面详细讨论矩阵奇异值及其性质。

定义1：矩阵奇异值分解（SVD）

如果A∈Rm×n，且m≥n，则存在正交矩阵U∈Rm×m和A∈Rn×n，使

式中，p=min（m，n）；σ1≥σ2…≥σp≥0。

σi（i=1，2，…，p）即为矩阵A的奇异值，是AAH的特征值λi的算术根，即。

定理1：奇异值的稳定性。

设Am×m，Bm×n∈Rm×n（m≥n），它们的奇异值分别为σ1≥σ2…≥σn，τ1≥τ2…≥τn，则

此定理表明：当矩阵A有微小振动时，它的奇异值的改变不会大于振动矩阵的2范数。

定理2：奇异值的比例不变性。

设Am×n的奇异值为σ1，σ2，…，σn，a×Am×n的奇异值为，则

此定理表明：经过归一化处理，可实现奇异值的比例不变性。

定理3：奇异值的旋转不变性。

矩阵A做旋转变换，相当于A左乘一个酉矩阵P，旋转后，A变为PA，PA与A具有相同的奇异值。

从以上的定理可以看出，矩阵奇异值能有效地反映矩阵的特征。

由传感器采集的数据长度为8 192点，采样频率0.4 kHz，根据所用传感器的灵敏度曲线及前面对数据的频谱分析，对数据进行短时傅里叶变换，时窗为0.4 s，时窗折叠40％。将短时傅里叶变换谱图的结果矩阵做奇异值提取，可得每个目标的62维特征。轮式车和履带式车的奇异值分布分别如图13-10和图13-11所示。

图13-10　轮式车奇异值分布

图13-11　履带式车奇异值分布

从图13-10和图13-11可以看出，尽管轮式车和履带式车的奇异值分布曲线在形状上没有多大区分，但在时域幅值相同的情况下，它们在奇异值数值上有很大差别。将提取的奇异值特征向量进行归一化后输入BP神经网络，网络拓扑结构分别为62×14×1，识别结果见表13-1。

表13-1　短时傅里叶变换及奇异值特征提取的识别结果

续表

与前面介绍的采用快速傅里叶变换的频谱特征的目标识别相比，短时傅里叶变换后用归一化奇异值特征进行目标识别，速度较快，但它的识别率比单纯用傅里叶变换的频谱特征的识别率低，这说明短时傅里叶变换后再提取奇异值的方法对地震动信号来说并不是很好的方法。

2.小波分析

小波变换继承和发展了Gabor的加窗傅里叶变换的局部化思想，弥补了其窗口不可调的缺点。小波变换的本质是多分辨率或多尺度分析。

1）小波变换及二进制小波变换(www.daowen.com)

设函数ψ（t）∈L2，且其傅里叶变换ψ（ω）满足

定义小波函数为

式中，a、b为尺度因子和平移因子。

变化a、b即可衍生出不同的小波函数。式（13-29）是小波变换允许条件，表明ψ（t）应具有足够的衰减性，并且均值为0。

使用式（13-30）定义的小波函数对f（t）做小波变换，其表达式为

对ψa，b（t），a的变动使函数伸缩，形成不同“级”的小波；b的变动使函数移位，形成不同“位”的小波。如果不断变动a、b形成一簇小波函数，然后将f（t）按这簇函数分解，那么根据展开的系数就可以知道f（t）在某一局部时间内位于某局部频段的信号成分有多少，从而实现了可调窗口的信号时频局部分析。

连续小波变换具有以下性质：

（1）连续小波变换是线性变换，信号被分解成不同尺度的分量，在变换中满足能量守恒定律。

（2）连续小波变换具有冗余性。由于a、b连续变化，相邻窗口绝大部分内容重叠。

（3）小波基不唯一。

（4）具有良好的局域性和非正则的过零性。

对数字信号分析来说，最常用且方便有效的离散方法就是二进制离散变换。取a=2j，b=k，则信号f（t）的离散二进制小波变换可表示为

W2j f（t）的傅里叶变换为

理论证明，二进制小波变换具有完备性和离散性。

2）多尺度分析

多尺度分析的思想：从L2（R）的某个子空间出发，先建立这个子空间的基底，再利用某种简单的变换，将它扩充到L2中去，也就是将函数f描述为一系列近似函数的极限，每一个近似都是函数f的平滑版本。因此，多尺度分析是指满足下述性质的一系列闭子空间｛Vj｝j∈z：

（1）一致单调性。…⊂V2⊂V1⊂V0⊂V-1⊂…。

（2）渐近完全性。。

（3）伸缩规则性。f（x）=Vj⇔f（2jx）∈V0，j∈Z。

（4）平移不变性。f（x）=∈V0⇒f（t-n）∈V0，n∈Z。

（5）Rieze基存在性。存在函数φ∈V0，使得｛φ（x-k）｝k∈z是V0的正交基，即

由Rieze基可以构造出一组正交基，因此正交基存在性的条件可放宽Rieze基的存在性。

（6）有界性。存在，对所有的c（n）n∈z∈l2（Z），满足

由此可知，多尺度分析的一系列尺度空间是由同一尺度函数在不同尺度下生成的。

定义尺度空间｛Vj｝j∈z的补空间｛Wj｝j∈z如下：

设Wm为Vm在Vm-1中的补空间，即

则有

即｛Wj｝j∈z构成了L2（R）的一系列正交子空间，且有

若存在｛hk｝k∈z∈L2，使得

则ψ（x-k）构成W0的Rieze基，ψj，k=2-j/2 ψ（2-j x-k），k∈Z膨胀成为Wj的Rieze基。φ（x）、ψ（x）分别称为尺度函数和小波函数，它们具有以下性质：

其中，j、k、k、l∈z，°

3）多尺度分析与正交小波变换

据多尺度分析的思想，

对于任意函数f（t）∈V0，总可以将它分解为平滑部分V1和细节部分W1。

设｛Vj｝为给定的多尺度分析，φ、ψ分别为相应的尺度函数和小波函数，由于信号总是在一定分辨率下得到的，即f（t）∈Vj（j为任意整数），为了描述方便，设f（t）∈V0，则f（t）可分解为

若令，则Aj f（x）、Dj f（x）分别是信号在2j分辨率

下的连续逼近和细节信号。

这样，经过一系列变换后，信号就被分解成一族离散化的正交小波函数的叠加，可表示为

式中，a0ψ（t）为常数项。

j级小波ω（2jt-k）由2j个小波叠加而成，每级小波实际代表着不同倍频程频段内的信号成分，所有频段正好不相交地布满整个频率轴。

信号重建时，有

进一步推导，有

上述信号的分解与重建过程就是著名的Mallat塔式算法。

4）小波变换与滤波器组

从数字滤波器的角度来看，小波分析实质上就是一个滤波器组。式（13-39）和式（13-40）所描述的系数分解过程如图13-12所示，其中h（-k）和g（-k）为滤波器系数。

图13-12　离散序列的小波分解

若初始输入为离散序列，每一次小波分解的过程就是对输入离散序列进行双通道滤波的过程。h（-k）和g（-k）称为双通道滤波器组，h（-k）具有低通性质，g（-k）具有高通性质，每一次分解把输入离散信号分解成一个低频的粗略逼近和一个高频的细节部分。由限带信号的采样定理可知，可以将采样率降低一半而不丢失任何信息，因此进行二抽取是允许的，图中符号2即表示二抽取。每次输出采样率减半，从而使总的输出序列长度与输入长度保持一致。由于滤波器设计是根据归一化频率进行的。前一级输出被二抽取后，虽然其归一化频带不变，但其实际频带减半。

因此，对离散序列进行小波分解后，所有尺度下的小波加最大尺度上的尺度系数后的总长等于原函数序列的长度，所不同的是，将序列投影到小波域，其各分量按频率的不同重新组合排序，而且新的序列具有集中系数的能力，便于特征提取、数据压缩及去噪声等。

5）小波包

由前面内容可知，正交小波变换的多分辨率分解只是将V（尺度）空间进行了分解，而没有对W（小波）空间进行进一步的分解，表现在其相平面上，随着尺度的增大相应小波基函数的时域窗口变宽而其频域窗口变窄。这样的时-频分布特性在许多情况下是非常有用的，但不能较好地满足在时-频域局部有较高分辨率的要求，而通过小波包将W进一步分解，可使正交小波变换中随j的减小而变宽的频谱窗口进一步分割变细。

令正交小波基的滤波器系数分别为hk和gk，并将尺度函数φ（t）改记为u0（t），小波函数φ（t）改记为u1（t），于是原来关于φ（t）和ψ（t）的二尺度方程变为

小波包是包括尺度函数u0（t）和小波母函数u1（t）在内的一个具有一定联系的函数集合，即由公式

定义的函数的集合un（t），n∈z。

小波包分解过程中，随着尺度的增加，所有频率窗口进一步分割细化。滤波器组每作用一次，数据减少为原来的一半。如果原始信号长度为2N，采样频率为fs，那么第L尺度的小波包分解将频率轴划分为n=2L个序列，每个序列的带宽为fs/2L，第n个序列的起始频率为fn=（n-1）fs/2L。

由前面的分析和参考文献可知，目标运动产生的地震动信号的频率不超过140 Hz。因此，对采样率fs=0.5 kHz的信号，进行1级小波分解，然后将第2级分解的平滑信号再进行4级小波包分解，得到每个频段为8 Hz的信号能量分布图。研究表明，轮式车近处信号在第3～4频段和7～8频段能量最强；履带式车近处信号在第4～5频段能量明显比其他频段能量强很多；远处轮式车和履带式车信号的低频段能量都相对增强，轮式车信号在第3～4频段能量最强，而履带式车信号在第3～4频段和第6～7频段能量相当，而其他频段能量很弱。