计数资料的统计描述

一、计数资料的 统计描述

相对数是计数资料的统计描述指标，可对资料进行深入地描述和分析。

（一）常用相对数

相对数是两个有联系的指标之比，常用的相对数有率、构成比、相对比。

1．率　表示在一定条件下，某现象实际发生的例数与可能发生该现象的总例数之比，说明某现象发生的频率或强度。常用百分率（%）、千分率（‰）、万分率（1／万）、十万分率（1／10万）等表示。计算公式为

式中K是比例基数，取值为100%、1000‰等，K的确定主要依据习惯，使算得的率至少保留一、二位整数。

2．构成比　表示某一事物内部各组成部分所占的比重，常以百分数表示。计算公式为

构成比有两个特点：①各组成部分的构成比之和为100%；②某一组成部分构成比增大或减小，必然使其他部分产生相应变化。

3．相对比　是两个有联系的同类指标之比，说明两者的对比水平，常以倍数或百分数表示。其计算公式为

（二）应用相对数应注意的问题

1．计算相对数的分母不宜过小　调查的例数足够多，计算出来的相对数才比较稳定，才能够正确反映实际情况。如用某药治疗某病病人5例，其中4例有效，即报道有效率为80%，显然这个有效率是不太可靠的。

2．分析时不能以构成比代替率　构成比和率是两个意义不同的统计指标。构成比通常只能说明某事物内部各组成部分在总体中的比重，不能说明某现象发生的频率或强度。

3．注意资料的可比性　所谓可比性，就是说除了要对比的因素以外，其余的可能影响研究结果的因素都应相同或相近。一般应注意：①观察对象同质、研究方法相同、观察时间以及地区等客观条件一致；②内部构成是否相同。如果两组资料的年龄、性别构成不同，而不同年龄、性别的率有差别时，只能分年龄、分性别比较，或进行标准化（参见有关统计专著）后再作比较。

4．观察单位不等的几个率不能直接相加求其平均率　例如用某药治疗某病，第一次治疗100人，治愈30人，治愈率30%；第二次治疗150人，治愈30人，治愈率20%。如果要算两次治疗总的治愈率，直接用是错误的，而应将治愈的总人数除以接受治疗的总人数，即。

5．对样本率（或构成比）的比较应作假设检验　由于样本率和构成比也有抽样误差，所以不能仅凭它们的数值大小就对总体率（或构成比）作推论，而应进一步作假设检验。

二、计数资料的假设检验——χ2检验

χ2检验或称卡方检验，可用于检验两个或两个以上样本率（或构成比）之间的差别有无统计意义，是一种用途较广的假设检验方法。

（一）四格表资料的χ2检验

【例8-16】　某医院用内科疗法治疗一般类型胃溃疡病和特殊类型胃溃疡病病人共179例，治疗结果如表8-10所示。问该内科疗法对两种类型胃溃疡病病人的治愈率有无差别？

表8-10中这4个格子的数据是整个表的基本数据，其余数据都是由这4个基本数据推算出来的，这种资料称为四格表资料。

1．χ2检验的基本公式

式中A为实际数，是实际资料的数据，即表8-10中的4个基本数据；T为理论数，是根据检验假设推算出来的。例如，例8-16要作两个样本率的比较，可以先假设两组治愈率相同，则可由合计治疗179人中治愈94人算得理论上的治愈率为94／179＝52．51%，以一般胃溃疡病病人80人乘以这一治愈率（80×52．51%＝42．01），即得一般类型组80人按该理论治愈率算得的理论治愈人数，故称“理论数”。理论数的计算公式如下

式中TRC表示R行C列的理论数，nR、nC分别为相应行和列的合计数，n为总例数。如表8-10中，第1行第1列的理论数为：，仿此可求得T12、T21及T22。

从基本公式可以体会到χ2值反映了实际数与理论数的吻合程度。如果检验假设成立，则实际数与理论数之差不会很大，χ2值也很小；反之，如果实际数与理论数相差很大，χ2值就大，则检验假设成立的可能性就小。χ2值的大小，除决定于（A-T）的差值外，还取决于格子数（严格地说是自由度）的多少，因为各格的都是正值，格子数越多χ2值也会越大。所以由χ2值确定P值时要考虑自由度的大小，其计算公式为

υ＝（行数-1）（列数-1）（8-31）

综上所述，再对例8-16的χ2检验作一完整的表述。

①建立假设，确定检验水准。

H0：两组的治愈率相等，即π1＝π2　　H1∶π1≠π2　　α＝0．05

②选定检验方法，计算检验统计量χ2值。按公式（8-30）

因为四格表中每行（列）的合计数是固定不变的，而每行（列）的理论数之和要等于原已确定的相应合计数，则：

T12＝80-42．01＝37．99，T21＝94-42．01＝51．99，T22＝99-51．99＝47．01

将算得的理论数和实际数代入基本公式，则：

υ＝（2-1）（2-1）＝1

③确定P值，并判断结果。查χ2界值表，得P＜0．001，差别有统计意义，按α＝0．05P2标准水准拒绝H0，接受H1，故可以认为两组胃溃疡病人的治愈率有差别。

2．四格表χ2值的校正

进行四格表χ2表检验时，如果有1＜T＜5，且n＞40时，要用下列校正公式计算χ2值

【例8-17】　某医师比较两种疗法治疗某病病人71例的疗效，结果如表8-11所示，试分析两种疗法疗效有无差别？

①建立假设，确定检验水准。H0：π1＝π2　H1：π1≠π2　α＝0．05

②选定检验方法，计算检验统计量χ2值。按公式（8-30）T11＝＝27．94，则T12＝32-27．94＝4．06，T21＝62-27．94＝34．06，T22＝39-34．06＝4．96。

本例有两个格子的1＜T＜5，且n＝71＞40，故需对χ2值作校正。按公式（8-32）

③确定P值，并判断结果。查χ2界值表，得P＞0．05，差别无统计意义，按α＝0．05水准接受H0，故不能认为两种疗法有差别。

若本例不对χ2值进行校正，则χ2＝4．45，查χ2界值表，得0．01＜P＜0．05，差别有统计意义，认为两种疗法疗效不同，与上述结论相反，可见对χ2值进行校正的必要性。

另外需注意，如果四格表资料中有T＜1或n＜40时，应用四格表资料的确切概率计算法（参阅有关统计专著）。

（二）行×列表资料χ2的检验

当实际数的行数或列数超过2时，通称为行×列表或列联表。行×列表资料的χ2检验，主要用于多个样本率或样本构成比的比较，常用下式代替基本公式

式中A为实际数，nR、nC分别为与A相对应的行合计和列合计，n为总例数。

【例8-18】　研究复方哌唑嗪对高血压病治疗效果的临床试验，并与复方降压片和安慰剂作对照，结果如表8-12，问3种药物疗效有无差别？

①建立假设，确定检验水准。H0：3种药物治疗的有效率相等　H1：3种药物治疗的有效率不等或不全相等　α＝0．05。

②选定检验方法，计算检验统计量χ2值。按公式（8-36）

③确定P值，并判断结果。查χ2界值表，得P＜0．001，差别有统计意义，按α＝0．05水准拒绝H0，接受H1，故可以认为3种药物治疗高血压病的疗效不同。

行×列表χ2检验时的注意事项：①一般认为行×列表中不宜有1／5以上格子的理论数＜5，或有一个理论数＜1。②当多个样本率（或构成比）比较的χ2检验，结论为拒绝检验假设，只能认为各总体率（或总体构成比）之间总的来说有差别，而不能说明它们彼此间都有差别，或某两者间有差别。

（三）配对计数资料的χ2检验

配对计数资料和前面讲过的配对计量资料，从配对设计来说是一样的。

【例8-19】　有28份咽喉涂抹标本，把每份标本依同样的条件分别接种于甲、乙两种白喉杆菌培养基上，观察白喉杆菌生长的情况，观察结果如表8-13，问两种培养基的结果有无差别？

本例是以每份样本作为受试对象，分别接受两种培养基处理，观察结果是白喉杆菌生长与否，所以属于配对计数资料，可以作两种培养基的差别比较。

由表8-13中可见有4种结果：两种培养基都生长（a），两种培养基都不生长（d），这是结果相同的部分；甲培养基生长乙不生长（b），甲培养基不生长乙生长（c），这是结果不相同的部分。而本例的目的是比较两种培养基的培养结果有无差异，则（a）、（d）两种结果是一致的，对差别比较没有意义，所以只需考虑结果不同的（b）和（c）有无差别，可用以下公式作χ2检验

此式适用于b＋c≤40时。若b＋c＞40，则用

①建立假设，确定检验水准。H0：两总体b＝c H1：两总体b≠c　α＝0．05

②选定检验方法，计算检验统计量χ2值。按公式（8-37）

③确定P值，并判断结果。查χ2界值表，得0．01＜P＜0．05，差别有统计意义，按α＝0．05水准拒绝H0，接受H1，故可以认为甲、乙两种培养基上白喉杆菌的生长率不同，甲培养基的白喉杆菌生长率较高。