3.2　无偏估计

人们经常用样本方差来估计总体的方差，可是在实际应用时，你会发现统计工作者计算样本方差的公式是而不是，这是怎么回事呢？

为了方便，用表示，用s2表示用σ2表示总体方差，用E（）表示样本方差的平均数（均值）.经过计算可以得到：

这说明，用估计总体方差σ2在大多数情况下是偏小的.用偏小的去估计方差σ2会产生风险.在金融交易中，方差表示风险的大小，当方差估计偏小时会给人以风险较小的错觉.在生产过程中，方差的大小表示生产过程的稳定性，当方差估计偏小时，会使管理人员误认为生产过程稳定，不能及时发现存在的问题.

由式（3.2）可知，用估计总体方差σ2存在系统误差.尤其是在小样本情况，即n的取值较小时，这种误差更加显著，因此不可忽略.这就是说，存在缺点，或者说是σ2的有偏估计.为了纠正这个偏差，不妨将式（3.1）中的分母n（样本容量）改为n-1，于是有

由于

因此，从平均意义上来讲，s2的值恰好等于总体方差σ2的值，于是称s2是σ2的无偏估计.

所谓s2是σ2的无偏估计，其含义是，尽管s2的值会随样本值的改变而改变，但是s2的取值总是环绕在总体方差σ2的真值左右摆动.即用s2去估计σ2时虽然会产生偏差，其偏差时正时负，时大时小，但是多次使用后所有偏差之和的平均值为零，如图3.2（a）所示.

图3.2　无偏估计与有偏估计的含义

（×表示s2和的值，·表示σ2的值）

可是，有偏估计的含义则不是这样的，统计量的取值会偏向真值的某一侧.有偏估计的值随样本值的改变而改变时，在真值σ2左侧取值的次数比较多，在右侧取值的次数比较少.如图3.2（b）所示.这表示用估计σ2时有系统误差，而无偏估计s2就不存在这种系统误差.

因此，虽然s2和都被称为样本方差，但是，前者是用（n-1）作平均的平均离差平方和，是无偏的样本方差；后者是用样本容量n作平均的平均离差平方和，是有偏的样本方差.在样本容量n很大时，s2与之间的差异可以忽略不计；可是在小样本的情况下，前者显著优于后者.所以，统计工作者一般都是用s2去计算方差，甚至在某些统计学书中，说到样本方差时指的就是s2，根本不提.

样本方差s2的计算比较繁琐，因此人们设法加以改进.

设有样本A：x1，x2，x3，…，xn，经过平移后得到样本B：y1，y2，y3，…，yn，其中yi＝xi＋a，i＝1，2，3，…，n，a为平移量.于是样本B的均值和方差分别是

这个结果说明，样本数据经过平移后其方差不发生改变.这是因为平移样本数据，虽然会使样本平均值发生改变，但是样本数据内部相互之间的相对距离不会改变，因此不会改变离差平方和及样本方差的值.利用这个结论，可以通过适当选择平移量使计算过程得到简化.

例2　设有样本A：94，95，98，99，106，108，计算样本方差.

解　将样本A中各个数据都减去100后得到

样本B：-6，-5，-2，-1，6，8.

很容易算出样本B的均值为＝0，于是方差为

由于因此样本A的方差为33.2.(https://www.daowen.com)

因为样本A经过平移后，所有的数字都变小了，所以给计算带来方便.

由于离差平方和Q可作如下变形：

因此，也可以利用公式（3.3）和（3.4）简化样本方差的计算.

方差在生产实践和经济生活等方面有广泛的应用.下面举一例说明方差在风险投资方面的应用.

例3　某公司有一笔资金，可以投入房地产和开饭店两个项目，其收益率都与市场状况密切相关.如果将未来市场划分为好、中、差3个等级，其发生的概率分别为0.3，0.6，0.1.经过市场调研，该公司认为购置房地产的年收益X（万元）和开饭店的年收益Y（万元）在好、中、差3个等级的分布分别如表3.2、表3.3所示.试问：该公司应将这笔资金投入哪个项目为好？

表3.2　购置房地产的年收益分布