12 假账克星
2001年，美国最大的能源交易商安然公司宣布破产，当时传闻该公司高层管理人员涉嫌做假账.事后，人们根据本福德定律证明，安然公司的高层领导确实做了假账.本福德定律是一个什么样的定律？它何以能揭露做假账的欺诈行为？看了下面的叙述读者就会明白.
当人们读书报杂志时，你会发现在各式各样的内容中都会出现一些大小不等的数字.现在请你猜一猜，在这些相互之间没有任何关系的众多数字中，以1为首的数大致占多少比例？以9为首的数又占多少比例？
你可能会作出这样的猜测：印刷品上出现的数字，其首位数字应该是均匀分布的.也就是说，以1为首的数，与以2，3，…，9为首的数出现的比例应该大致相等.
事实并非如此.统计表明：从书报杂志上任意取出的数中，以1为首的数要比别的数多得多，约占三分之一；以1或2为首的数几乎占一半；数字越大居首位的可能性越小，以9为首的数很少见.
数字的这种奇特的分布规律的发现，归功于在美国通用电气公司实验室工作的一位物理学家富兰克·本福德（Frank Benford，1883—1948）.本福德在无意中发现，对数表的前面总是被人们翻得很破旧，而后面的磨损则很小.喜欢思考问题的习惯使他作出如下猜想：人们使用对数表时，查阅以1或以2为首的数据的频率要远大于查阅以8或以9为首的数据的频率.后来，本福德对数字分布情况展开了广泛的调查，发现各种内容完全不相同的数据，比如在人口、物理和化学常数、棒球统计表以及斐波纳契数列，都呈现出与上述猜想相同的规律.1938年，他在论文《异常数字法则》中发表了自己发现的这个数字分布规律.虽然，早在1881年，西蒙·钮克比（Simon Newcomb，1835—1909）就已经提出过相同的结论，可是并未引起人们的广泛关注.因此，现在人们将这种数字分布规律称为本福德定律.
本福德定律可以用数学语言表示为：以N作为首位的数，其出现的概率P为
lg（N＋1）-lgN，其中N＝1，2，3，…，9.
当N＝1时，P＝lg2-lg1，约为0.301；
当N＝2时，P＝lg3-lg2，约为0.176；
……
当N＝9时，P＝lg10-lg9，约为0.046.
于是有表12.1.
表12.1 数字分布规律
欲证明本福德定律并非易事.我们不妨以N＝1为例，大致说明其真实性.
假设从一个口袋里进行随机摸数.如果口袋里只有1，2，3这3个数，那么摸到1的概率为
.如果有更多的数，比如有从1至9这9个数，这时摸到1的概率为
.如果口袋里的数增加到10，这时，10个数中有1与10两个数是以1为首的，于是以1为首的数字被摸到的概率一下子上升到
.如果数从11递增到19，摸到以1为首的数的概率也会不断递增，一直增加到
，即58%.如果口袋里的数继续增加到20，30，…时，摸到以1为首的数的概率反而会递减.当口袋里的数增加到99时，摸到以1为首的数的概率将降为
，即11%左右.可是，当口袋里的数超过100时，摸到以1为首的数的概率又会再次上升，当口袋里的数增到199时，其概率为
，又一次超过了50%.
由此可以看到，随着口袋里的数的递增，摸出以1为首的数的概率时而不断递减，时而不断递增，可是这个概率值却总是在11%和58%之间摆动.因此，我们有理由相信，以1为首的“平均”概率一定介于这两个值之间.这正好符合本福德定律.
本福德定律在很多场合都适用，由各种“自然”过程所产生的数据都符合本福德定律.美国华盛顿大学的经济学家发现，经济合作与发展组织（Organization for Economic Co-operation and Development，OECD）的数据非常符合本福德定律.这表明，国内生产总值（Gross Domestic Product，GDP）的数据也应符合本福德法则.
1961年，一位美国科学家提出，本福德定律其实是数字累加造成的现象.例如，假设股票市场上的指数开始时是1000点，并且以每年10%的水平上升，那么要经过7年时间，该指数才能从1000点上升到2000点；从2000点上升到3000点，只要经过4年多时间；从3000点上升到4000点，只要大约3年时间，……可是，如果要让该指数从10000点上升到20000点，又要经过7年多时间.因此我们可以看到，以1为首的指数数据要远多于以其他数字为首的指数数据.这正是本福德定律揭示的规律.
并非所有数据都适用本福德定律.例如，邮政编码和居民身份证号码就不适用，因为这些数字是由政府部门依照一定的规律编制的.又如，中国成年男子的体重也不适合这个规律，因为中国男子的体重多数都在50kg与90kg之间，被限制在一个很小的范围内.
适用本福德定律的数据必须具备两个条件：
（1）数据不是依照一定规律排序的，也没有被限制在某个较小范围内.例如，电话号码、发票号码等就不适用本福德定律.
（2）数据没有经过人为修改.
一位名叫马克·尼格里尼（Mark Nigrini）的会计学教授在20世纪90年代名扬天下，原因是他根据本福德定律创造了一套方法，可用于识别账目的真假.这种方法被称为“尼格里尼求和法”.我们知道，本福德定律应用的条件之一是数据不能经过人为修改.如果有人对账本中的数据作过改动，那么作假者就会将数字的自然分布模式搅乱，使得修改后的数据不再服从本福德定律，利用“尼格里尼求和法”就可以从中发现疑点.现在这种简便易行的方法已经被许多会计师成功地用于识别假账.因此，人们将本福德定律称为“假账克星”.本文开始部分提及的美国安然公司做假账的败露就有它一份功劳.
人们对本福德定律的研究仍在继续，不断有新的成果出现.科学家根据本福德定律发现，在2004年美国总统选举中佛罗里达州的投票有欺诈行为，在2006年墨西哥的选举投票中也有欺诈行为.
2009年，西班牙数学家在素数中发现了一种新模式.虽然素数被认为是随机分布的，但是西班牙数学家发现，素数数列中每个素数的首位数字有明显的分布规律，它被称为素数的本福德定律.这项新发现除了提供对素数属性的一种新见解外，还可应用于欺骗检测和股票市场分析等领域.
