附录1　密度函数与分布函数

附录1　密度函数与分布函数

如果曲线y＝p（x）反映了随机变量ξ取值的统计规律性，在不同的点x处，都有唯一的概率密度p（x），则称p（x）是随机变量ξ的概率密度函数，简称密度函数或概率密度，如附图1.1所示.对于不同的随机变量，可以得到不同的曲线，它的密度函数表达式也不相同.

对于具有密度函数p（x）的随机变量ξ来说，ξ在区间[a，b]内取值的概率，可以表示为函数p（x）在该区间上的积分.即

密度函数具有以下两条基本性质：

（1）密度函数是非负的，即p（x）≥0；

（2），即密度函数曲线下方的面积为1.

反之，任意一个满足以上两条性质的函数p（x），可以是某个随机变量的概率密度函数.

例如，函数

可以验证p（x）满足密度函数的两个性质：

（1）p（x）≥0显然成立；(https://www.daowen.com)

（2）

因此，p（x）可以是某一个随机变量的概率密度函数.

设x是任意实数，若事件﹛ξ＜x﹜有确定的概率，且这个概率随着x的变化而变化，即P（ξ＜x）是x的函数，记作

F（x）＝P（ξ＜x），

则称函数F（x）为随机变量ξ的分布函数.

标准正态分布记作N（0，1），其密度函数为

N（0，1）的分布函数常记为Φ（x），即

随机变量的统计规律性既可以用密度函数来描述，也可以用分布函数来描述.