亲历数学美之旅——让我们同行
陈双双
对于数学学习，有人热爱有人厌；至于数学教育，有时欢喜有时忧。中国的基础教育，从小学一年级到高三，数学是贯穿始终的课程，也是课时占比最大的课程，可能也是很多学生花费最多精力，却不一定能收到良好效果的课程。为什么要教数学、学数学？如何教数学、学数学？这可能还得从“数学是什么”说起。
一、 数学是什么（What）
数学是什么？这不是一个可以简单定义的问题，但我还是会经常和我的学生以及同事们探讨，特别是迎接高一新生入学时的第一节数学课上，这总是我提出的第一个问题。当然，我也不可能给出标准答案，只是提供给学生一个了解数学、认识数学的不同视角。
（一） 数学是一种文化
数学（mathematics)一词在西方源自古希腊语，有学习、学问和科学之意。古希腊时期的数学被视为哲学之起点，即“学问的基础”。在中国古代，数学称为算术，又称算学，位于古代六艺（礼、乐、射、御、书、数)之末。
恩格斯指出：“数学研究的是物质及其运动的空间形式和数量关系。”《中国大百科全书·数学卷》这样定义：“数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的，简单地说，是研究数和形的科学。”
目前，现代数学日新月异，已经发展成为包括一百多个分支的庞大系统。数学已经不再是原来人们头脑中数和形的概念了。随着计算机的发明和技术水平的迅速提高，数学也进入了新的黄金时代。我们从不同角度来审视：从数学的学科结构看，数学是模型；从数学的过程看，数学是推理与计算；从数学的表现形式看，数学是符号；从数学对人的指导看，数学是方法论；从数学的价值看，数学是工具。
美国数学家R.柯朗在《数学是什么？》中，给出了精彩的描述：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构造、共性和个性。
现在人们对“数学”的认识，也从一元论趋于多元论，即数学是一个多元的复合体——由理论、方法、问题和符号语言等多种成分组成。从文化的角度来理解，数学是构成整个人类文化的有机组成部分之一，是一个既独立又开放的子系统，正是其内在力量和外部力量的共同作用直接决定了数学的发展和进化。
（二） 数学是一种精神
数学在人类文明的进程中一直起着积极的推动作用，是人类文明的重要支柱。M.克莱因在《西方文化中的数学》一书中，对数学的诠释尤其激动人心、发人深思：“数学是一种精神，特别是一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。”
作为研究抽象对象的科学，数学依靠逻辑而不是观测结果作为其真理标准，但数学也使用观测、模拟甚至实验作为发现真理的手段，因而数学被公认为最具理性的科学。数学理性是指人类从数量和逻辑的角度给事物以一种客观的、定量的、精确的、逻辑的描述方式和思维方式，同时它又是一种探索真理和坚持真理的精神。理性精神是人类文化发展的标志，伟大的理性探索精神是数学发展必不可少的文化背景，反过来也是数学贡献于人类文化的最突出的功绩之一。
（三） 数学是一种大美
对于数学中所蕴含的美，不少名人的赞美之词会给我们不少启迪。开普勒指出：“数学是这个世界之美的原型。”罗素则认为：“数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。”法国思想家狄德罗认为：“算学中所谓美的问题，是指一个难以解决的问题；而所谓美的解答，则是指对于困难和复杂问题的简单回答。”
数学美具有一般科学美的社会性与客观性，与之有别的是更具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性的特征。数学美就其内容来看，可分为结构美、语言美和方法美。如果按照数学美的形式，可将其分为形态美和内在美，它们通常又可以细分为简洁美（抽象美、符号美等)、和谐美（对称美、统一美等)和奇异美（有限美、神秘美等)。而数学教育家张奠宙先生把数学美分成了四个层次：美观、美好、美妙、完美。
探讨数学美的意义何在？首先，数学美是科学美的皇后，不仅对数学本身起到方法论的作用，而且对其他科学也起到重要的方法论的作用。其次，数学美学理想是数学研究最有力、最高尚的动机，具有这种理想的人对数学会表现出极大的热忱和献身精神。很多事实证明，数学家的审美理想和审美能力在数学研究中起着重要的作用。第三，检验数学理论是否正确、完善，通常会用统一性、简单性、严密性等标尺去衡量，因而数学美也是评价数学理论的重要标志。如希尔伯特提出的建立公理系统三原则，即相容性、独立性和完备性，就蕴含了数学的和谐美、简洁美、统一美和严谨美。后来，这种公理化的思想方法不仅对数学的发展，而且对于科学的发展及人类思想的进步都起到了重要的作用。冯·诺依曼说过：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准主要都是美学的。”此言一语道破天机，对数学美的追求是数学研究和数学发展的深层动力。因此，作为数学教师弘扬数学美，对于引导学生理解数学的本质、探求数学的奥秘，培养学生坚持真理、勇于探索创新的理性精神，具有现实而重要的意义。
二、 为什么要学习数学（Why）
在理解了“数学是什么”之后，就不难理解为什么要学习数学。
（一） 学数学是社会发展进步的需要
数学对人类社会的发展进程一直起着积极的推动作用，是人类文明的重要支柱。
从物质文明来看，华罗庚先生曾在《大哉数学之为用》一文中，精彩地叙述了数学的各种应用：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重要贡献，揭示了数学在科学发展乃至社会生活中所扮演的重要角色。可以这样说，现代社会的任何一门科学技术或学科分支包括人文科学，只要是应用了数学，就会如虎添翼，发展趋于完善。
在精神文明层面，数学的理性精神是社会文明的重要标志。特别是当今中国，物质文明发展到一定阶段，精神文明包括各种制度文明是亟待解决的课题。数学理性弘扬的是一种坚持真理、实事求是的科学精神，一种纯粹的、脱离了低级趣味的高尚精神，这在物欲横流的社会显得特别的重要和如此的珍贵！(https://www.daowen.com)
（二） 学数学也是个人终身发展的需要
从社会需求的角度看，在中小学课程及各种升学招生测试中，数学所占比重之大人人皆知，数学学习能力是进一步学习和深造的必要条件，因此学生及家长尤其希望提升数学学习水平和学习成绩。
从育人价值的角度看，数学理性是一种人们有理有据地推理、论证的思维，一种追求真理、不迷信权威的科学精神，这对于培养个人的逻辑思维能力、反思质疑能力和探索创新能力是极其重要的。也许很多学生在毕业之后，即使不再从事与数学有直接关系的工作，对一些具体的数学知识内容可能会遗忘，然而数学的思想和方法会使人获益终身。
三、 怎样学数学（How）
对于数学学习，很多学生感到困难重重，家长忧心忡忡；对于数学教育，不少数学教师辛辛苦苦，却也困惑多多。
（一） 兴趣是最好的老师
子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”这句话指明了学习的三层境界：知、好、乐。因何而好，为何而乐，这就需要师生的共同努力。
影响学生数学学习的因素主要有两个方面，一是学习能力的强弱，二是学习中学习信念等个性品质。从心理学上讲，情感、意志、兴趣、性格、需要、目标、抱负和世界观等非智力因素，对学生学习过程起着动力、定向、引导、维持、调节和强化等作用。作为学生，应该积极调动自己的一切非智力因素来学习数学，努力提高自己的学习兴趣，即我们所提倡的主动学习。作为教师，不应成为学习的灌输者，而要成为学习的引导者，如教师可以通过情境引入数学知识、介绍数学史和欣赏数学美等方法来指引学生提高学习兴趣，增强学习动力。
除了重视课堂上、课程内的数学学习，还应关注课堂及课程之外的学习。为此，教师可以推荐学生多阅读一些数学课外书籍，如我们学校给高一新生布置的暑期作业是推荐阅读《数学美拾趣》《数学百家》和《数学魔法》等书籍，并撰写一篇读书报告。
（二） 学而时习之，不亦说乎
很多人会将数学学习简单地理解成多学多练多做题，即所谓的“熟能生巧”。一些家长经常会对数学老师说，我们孩子数学成绩不好，就是题目做得太少，练得不够。这其实是一种认识的误区，并不是题目做得越多越好，有可能还会“熟能生厌”，故而盲目做题，既浪费时间精力，也不见得会有好收获。
当然，在学了数学的概念性质和定理公式之后，适当的练习是需要的，这将有助于学生进一步理解所学的数学知识。数学的解题能力，在一定程度上反映了学生的基本数学素养。在数学问题解决过程中，一般应考虑四个步骤：1. 审题理解题意，搞清楚已知条件、未知对象是什么；2. 确定数学模型及解决方案，寻找已知与未知之间的联系；3. 执行解题方案，确保推理演算过程的严谨有序；4. 反思检验总结，得出最终结论或改进方案。上述四步中，做好第1步需要较好的观察力和理解力；最难的当属第2步，很多学生就是找不到合适的模型，或建立不了各种数学对象之间的联系，这就需要扎实的数学基础知识的储备，还要具备敏锐的洞察力、丰富的联想力或良好的空间感知等能力；而做好第3步，通常需要较强的数学运算能力和逻辑推理能力；至于第4步，则需要良好的归纳总结、反省质疑和进一步探究创新等综合能力。
至于学生的习题错误，也不是多练几遍就能改正的，而应该仔细分析产生错解的原因，如审题不清、概念理解不透、运算过程出错，或逻辑推理有漏洞、表述不规范等。只有搞清错误根源，才能避免重犯或少犯类似错误。
对于学而时习之的“习”字，不能误解为简单重复操练、反复做同一件事，这只会叫人不亦“苦”乎，何谈“说”乎？其实对“习”字的最佳解读是“实践、试验”，学习者能在实践中验证并丰富对真理的领悟，从而实现学习的价值，这才是令人快乐的事！
（三） 道可道，非常道
数学家李大潜院士在《光明日报》上倡导“数学教育应注重人文内涵”。他指出了数学教育的一些问题：往往把数学看成一堆定义、公式、定理及证明的堆积，千方百计地要把这些知识灌输到学生的头脑中去，却忘记了数学教育最根本的三件事：一是数学知识的来龙去脉，割断了数学与现实世界的血肉联系，就会打消学生学习数学的积极性。二是数学的精神实质和思想方法，只讲知识、不讲精神，只讲技巧、不讲思想，学生就不可能学到数学的精髓。三是数学的人文内涵，数学在人类认识和改造世界的过程中起着关键的不可代替的作用，是人类文明的坚实基础和重要支柱。“在数学教学中抓住了上面这三点，就抓住了数学的灵魂，学生对数学的学习就一定会更有成效。”
因此，在教与学的两方面都应重视数学核心素养的培育，关注学习过程的内心体验，并切实做到：1. 经历或理解数学知识的发生发展过程，对知识不仅知其然，而且要知其所以然。2. 体验和领悟数学的本质精髓，活学活用数学的思想和方法。3. 体会和欣赏数学美，善于发现、挖掘蕴含在数学知识内部的人文精神，关注数学与社会实际的密切联系，了解数学史以及数学对人类文明的贡献。
如何在数学教学中切入数学美育，就我的体验而言，可以从两个方面来彰显数学美：其一，就数学美之内在本原来说，数学美是一种理性美与思想美；其二，就数学美之外显特征来看，数学美主要体现在一种形态美与形式美。这两类数学美由表及里、内外结合、相辅相成。理解数学美，既要有宏观的思想方法的统领，又要体验于细微之处，即蕴含在每一个具体的数学对象之中的数学美。
我们学过的数学公式数不胜数，且几乎都是美不胜收的，而在这些形态美的背后，都蕴含着深刻的内在理性美。如圆的方程x2 + y2 = r2，其形式结构的对称和谐美，也是导致其曲线的图形性质美之所在。即便是有些公式形式不佳，也不代表其蕴含的思想方法不美。以我们非常熟悉的实系数一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a≠0)为例，当b2≥4ac时，其x =
尽管形式不美，但从不同角度重新观察，仍然能搜寻到公式的确定性、抽象性、程序性以及奇异性（包含了所有六种基本代数运算，即加、减、乘、除、乘方和开方运算)，此外在公式中隐含着的根与系数的关系（韦达定理),展示了数学的和谐美与对称美。当我们追根溯源，回顾公式推导过程所采用的配方法，由此引申推广到解复系数一元二次方程，配方法仍是根本方法，其指导思想是化归，即用配方法将方程同解变形为最简二次方程x2 = c的形式，再实施开方运算即可得解。这里配方法是问题解决的措施，而化归才是问题解决的灵魂。至此，我们寻觅到了公式中蕴含着的合理有序、和谐对称、简洁统一等数学美的踪迹。
数学已成为我们这个时代的一种文化。数学的观念在众多不同的层次上影响着我们的生活方式和工作方式。数学的思想和方法作为数学知识内容的精髓，是铭记在人们头脑中起永恒作用的数学精神与态度，数学的观点和文化。正如人类对美的追求薪火相传，永无止境,在数学的教与学两方面，亲身经历数学美之旅程——让我们同行！
上海市信息科技特级教师。毕业于西北工业大学计算机技术系计算机及应用专业。现任浦东教育发展研究院教师发展中心常务副主任，兼任浦东新区教师培训基地主持人。致力于对信息科技学科教学的研究，关注学生思维品质的发展。参与上海市信息科技学科课程标准、教学建议的修订工作，2014年获上海市基础教育成果一等奖。先后主编了《网络礼仪及道德规范》《教师学习共同体的网络环境研究》等，主持“中学信息科技学科教学问题序列的研究与实践”等市区级课题、项目10多项，发表论文10多篇，多篇论文被科技论文检索系统IEEE全文检索。