练习题五
1.交换下列二次积分的次序：
2.将
化为直角坐标下的两种次序二次积分.
3.计算下列二重积分：
（1）
|y-x2|max｛x，y｝dxdy，D：0≤x≤1，0≤y≤1；
（2）
|x2+y2-2|dxdy，D：x2+y2≤3；
（3）
（x+y）2dxdy，D：x2+y2≤2ay，x2+y2≥ay（a＞0）；
（4）
，D为y2=x，x=0，y=1所围区域；
（5）
，D：x2+y2≤4a2，ρ≥a（1+cosθ），y≥0（a＞0）；
（6）
（x+y）3（x-y）2dxdy，D为x+y=1，x+y=3，x-y=1，x-y=-1所围区域；
（7）
=1，x=0，y=0所围区域；
（8）
，D：（x2+y2）2≤2（x2-y2）.
4.计算
5.计算
6.设f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）=0，f（x，1）=0
=a，其中D=｛（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1｝，计算二重积分
7.求
8.计算下列三重积分：
（1）
（x2+y2+z2）dxdydz，Ω：x2+y2+z2≤2z，1≤z≤2；
（2）
（x2+y2）dxdydz，Ω：x2+y2≤z，z≤1；
（3）
［（1+x）2+y2］dxdydz，Ω：x2+y2+z2≤z；(https://www.daowen.com)
（4）
，Ω：z2≤x2+y2≤z；
（5）
，Ω：x2+y2+z2≤a2，x≥0，y≥0，z≥0；
（6）
，Ω：π2≤x2+y2+z2≤4π2.
9.设f（x）为连续的奇函数，并且是周期为1的周期函数，又
=1，如果F（x）=
，试将F（x）表示为定积分形式，并求F′（1）.
10.求
，这里Ω是由
绕z轴旋转一周所生成的曲面与平面z=2，z=8所围成的区域.
11.求圆柱面x2+y2=ay（a＞0）介于z=
与xy平面之间部分曲面的面积.
12.计算下列曲线积分：
（1）
-［（x+ex）siny-x］dy，其中
为由点A（2，0）至点O（0，0）的心形线ρ=1+cosθ的上半周.
（2）∫Γydx-xdy+（x+y+z）dz，Γ为由弧
与直线BA组成，
为螺纹线x=acost，y=asint，z=
的一段，BA平行于z轴，但指向相反.
（3）∫Γzdx+xdy+ydz，Γ为
上从点（0，1，0）到点（0，-1，0）.
13.求
+（x+x2ey）dy，
为连接点A（1，2），B（3，4）的曲线弧，且
与
构成封闭曲线的正向，它所围的图形的面积为S.
14.求
+［φ′（y）sinx-π］dy，
为连接点A（π，2），B（3π，4）的曲线，且
与
构成封闭曲线的正向，它所围的图形的面积为2.
15.求∫Γ（ysinx+cosy）dx+（xy3-xsiny+8y5）dy，Γ为曲线y=cosx与y=
所围区域的边界曲线的正向.
16.确定n的值，使得曲线积分
+（6xn-1y2-5y4）dy与路线无关，并求出当点A，B的坐标为A（0，0），B（1，2）时该曲线积分的值.
17.设I=
+Qdy+Rdz，其中P=xz+ay2+bz2，Q=xy+az2+bx2，R=yz+ax2+by2，试求a，b使曲线积分与路线无关，并求出当A，B的坐标为A（0，0，z0），B（x1，y1，0）时I的值.
18.求
，Σ：x2+y2+z2=1（0＜a＜1）.
19.求
+x（z-y）dxdy，Σ为z=
被平面z=1，z=2所截的一段曲面的外侧.
20.设半径为R的球面Σ的球心在定球面x2+y2+z2=a2（a＞0）上，问当R为何值时，球面Σ在定球内部的面积最大？
【注释】
[1]原题没有给出C的方向.
