6.2.2　空间平面的方程（例6.6—6.9）

6.2.2　空间平面的方程（例6.6—6.9）

例6.6（江苏省1994年竞赛题）　曲线所围平面区域D的面积为________.

解析　因平面Ax+By+Cz=0的法向量的方向余弦为

这里u=，平面区域D在xy平面上的投影为椭圆，其面积为πab，所以D的面积为

例6.7（江苏省2000年竞赛题）　过点（2，0，-3）且与直线

垂直的平面方程是（　）

A.-16（x-2）+14y+11（z+3）=0

B.（x-2）-2y+4（z+3）=0

C.3（x-2）+5（y-0）-2（z+3）=0

D.-16（x+2）+14y+11（z-3）=0

解析　直线的方向向量为(https://www.daowen.com)

l=（1，-2，4）×（3，5，-2）=-（16，-14，-11）

所以所求平面的法向量为n=（-16，14，11），平面方程为

-16（x-2）+14（y-0）+11（z+3）=0

故选A.

例6.8（江苏省2000年竞赛题）　通过直线

的平面方程是_________________.

解析　直线L1的方向向量为l=（2，3，2），且通过点P1（-1，2，-3），直线L2的方向向量为l=（2，3，2），且通过点P2（3，-1，1）.于是所求平面的法向量为

于是所求平面方程为x-z=2.

例6.9（浙江省2006年竞赛题）　求过点（1，2，3）且与曲面z=x+（y-z）3的所有切平面皆垂直的平面方程.

解析　令F=z-x-（y-z）3=0，则曲面上过一点（x，y，z）的切平面法向量为n==（-1，-3（y-z）2，1+3（y-z）2）.记n1=（1，1，1），由于n·n1=-1-3（y-z）2+1+3（y-z）2≡0，所以n1⊥n，因此所求平面方程为（x-1）+（y-2）+（z-3）=0，即x+y+z-6=0.