附录五 部分习题答案与提示
2015年少数民族预科数学会考试题（文）
（总分100分）
一、单项选择题（每小题3分，共48分）
1.下列数列中，当n→∞时，有极限的是（ ）
A.xn＝2n
B.xn＝n3
C.
D.
2.设
，则k的值为（ ）
A.-3
B.
C.
D.3
3.极限
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.若函数f（x）在x0处可导，则极限
可表示为（ ）
A.f′(x0)
B.-f′(x0)
C.2f′(x0)
D.-2f′(x0)
5.若函数y＝xtanx，则一阶导数y′为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.函数f（x）＝3x2-2x+5在x＝0处的二阶导数f″（0）为（ ）
A.-3
B.0
C.-6
D.6
7.函数f（x）＝ln（2x-1）的单调递增区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.函数
的极大值和极小值分别为（ ）
A.0,
B.
C.
D.
9.极限
的值为（ ）
A.1
B.∞
C.0
D.-1
10.下列各式不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.不定积分
的结果为（ ）
A.3xln3-3x2+C
B.
C.3xln3-3x2
D.
12.不定积分
的结果为（ ）
A.
B.
C.
D.
13.若f（x）的导函数为sinx，则f（x）的一个原函数为（ ）
A.2-cosx
B.x+sinx
C.-1+sinx
D.-x-sinx
14.根据定积分的几何意义，
的值为（ ）
A.-2
B.3
C.2
D.1
15.定积分
的值为（ ）
A.-2
B.2
C.1
D.-1
16.极限
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多选题（每小题4分，共20分）
17.当x→0时，下列函数与x是等价无穷小的是（ ）
A.ln(1+x)
B.1-cosx
C.sinx
D.tanx
18.若f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
，其中x0∈（a，b）
B.f（x）在开区间（a，b）内必有最大值
C.f（x）在闭区间[a，b]上有界
D.若f（a）·f（b）≠0，则至少存在一点ξ使得f（ξ）＝0，ξ∈（a，b）
19.下列微分计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
20.下列公式错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
21.设f（x）在[a，b]上连续，则下列等式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、判断题（结论对的写T，错的写F，每小题2分，共32分）
22.函数f（x）在点x0处连续是在该点可微的充分条件.（ ）
23.函数
的间断点有3个.（ ）
24.函数f（x）＝2x3-x在x＝1处的切线方程为y＝5x-4.（ ）
25.若函数f（x）＝2sin2x，则f′（x）＝2sin2x（cos2x）ln2.（ ）
26.函数的极值点一定是不可导点.（ ）
27.曲线
既有水平渐近线，又有铅直渐近线.（ ）
28.连续函数f（x）在[a，b]上一定会有极值.（ ）
29.若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）＝G（x）+C（C为常数）.（ ）
30.根据第一类换元积分法，有
.（ ）
31.若u，v都为可微函数，则分部积分公式为
.（ ）
32.定积分的值与被积函数和积分变量有关.（ ）
33.设，要使f（x）处处连续，则k＝2.（ ）
34.根据定积分的性质
.（ ）
35.对称区间上的积分
.（ ）
36.f（x）在x0处可导是f（x）在x0处可微的充分非必要条件.（ ）
37.无界数列一定没有极限.（ ）
2015年少数民族预科数学会考试题（理）
（总分100分）
一、单选题（每小题3分，共48分）
1.数列1
，…的极限是（ ）.
A.1
B.-1
C.0
D.不存在
2.下列结论正确的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.设f（x）在x0处可导，且
＝2，则f′（x0）＝（ ）.
A.-1
B.1
C.4
D.-4
4.函数y＝7x+x3的导数是（ ）.
A.x·7x-1+3x2
B.7xln7+x3ln3
C.7x+3x2
D.7xln7+3x2
5.方程x3-5x+1＝0在区间（ ）内至少有一个有实根.
A.(0,1)
B.(-1,0)
C.
D.(1,2)
6.下列说法正确的是（ ）.
A.若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
B.函数f（x）的驻点一定是f（x）的极值点
C.函数f（x）的极大值一定大于其极小值
D.f（x）在x0处不可导，但x0可能是函数f（x）的极值点
7.若函数
在x＝0处连续，则a+b＝（ ）.
A.2
B.-1
C.-2
D.
8.设f（x）在x＝0处的某个邻域内连续，且
＝2，则f′（0）＝（ ）.
A.-1
B.0
C.1
D.2
9.secxtanxdx＝d( ).
A.tanx
B.-tanx
C.secx
D.-secx
10.
＝( ).
A.
B.
C.
D.
11.
＝( ).
A.
B.
C.
D.
12.
＝( ).
A.
B.
C.
D.
13.由曲线y＝x2和曲线x＝y2所围图形的面积是（ ）.
A.
B.
C.
D.
14
＝( ).
A.0
B.
C.1
D.2
15.
＝( ).
A.
B.1
C.0
D.
16.设f（x）有原函数xarctanx，则
＝（ ）.
A.
B.
C.
D.
二、多选题（每小题4分，共20分）
17.下列各项错误的是（ ）.
A.若
存在，那么函数f（x）在x0的某一去心邻域内有界
B.函数y＝f（x）在x0处连续，则y＝f（x）在x0处一定可导
C.函数
的铅直渐近线为x＝4
D.设f（x）
则x＝0为f（x）的跳跃间断点
18.设f（x）可导，则下列式子成立的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
19.下列各式正确的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
20.下列说法正确的是（ ）.
A.y＝ex在点（0，1）的切线方程是y＝x+1
B.
在x0连续的充要条件是
都存在
C.设f（x）在[2，4]上连续，且f（x）在[2，4]上的平均值为5，则
D.设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在区间[a，b]上一定可积
21.设
，则正确的是（ ）.
A.x＝-2是F（x）的极大值点
B.x＝2是F（x）的极小值点
C.x＝0是F（x）的极大值点
D.（0，0）是F（x）的拐点
三、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共32分）
22.如果函数F（x），G（x）都是f（x）的原函数，则有F（x）+G（x）＝C（C是常数）.（ ）
23.当x→0时，tanx，ex-1，x+2x3，arcsinx都是等价无穷小. （ ）
24.x＝0为y＝arctan
的 第二类间断点. （ ）
25.初等函数在其定义区间内是连续的. （ ）
26.f（x）在x0处不可导，则f（x）在x0处切线不存在. （ ）
27.闭区间[a，b]上的连续函数必有界. （ ）
28.f（x）在（a，b）上f′（x）＞0，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上单调递减且为凸的.（ ）
29.[(tanx)x]′＝x·(tanx)x-1. ( )
30.有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小. （ ）
31.由参数方程
所确定的函数的导数是
. （ ）
32.y＝f（v）在v处可导，v＝φ（x）在x0处不可导，则y＝f（φ（x））在x0处一定不可导.（ ）
33.设f（x）连续，则
（ ）
34.
. ( )
35.
的值与被积函数及区间[a，b]有关，也与积分变量用什么符号表示有关.（ ）
36.
. ( )
37.由曲线y＝f（x），直线x＝1，x＝3及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
. （ ）
2016年少数民族预科数学会考试题（文）
（总分100分）
一、单项选择题（每小题3分，共54分）
1.当n→∞时，数列
的极限值为（ ）
A.4
B.0
C.1
D.3
2.下列结论正确的是（B）
A.
B.
C.
D.
3.极限
的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.若f′（x）存在，且f′（2）＝1，则极限
的值为（ ）
A.-3
B.-2
C.2
D.3
5.若函数y＝x2x，则dy为（ ）
A.2x2x(lnx+1)dx
B.2x·x2x-1dx
C.x2xlnxdx
D.2x2x(lnx-1)dx
6.函数f（x）＝1-cos2x的二阶导数f″（x）为（ ）
A.-4cos2x
B.4cos2x
C.2sin2x
D.-2sin2x
7.设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶、二阶导数，且f′（x）＜0，f″（x）＜0，则f（x）在[a，b]上是（ ）
A.单调递减且凹的
B.单调递增且凹的
C.单调递减且凸的
D.单调递增且凸的
8.极限
的值为（ ）
A.-1
B.
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C.
D.2
9.函数
处的切线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下列各式正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.不定积分
＝（ ）
A.
B.
C.(5e)x(ln5-1)+C
D.(5e)x(ln5+1)+C
12.不定积分
＝（ ）
A.
B.
C.
D.
13.定积分
的值为（ ）
A.-1
B.0
C.1
D.2
14.若f（x）的一个原函数是earcsinx，则不定积分
＝（ ）
A.earcsinx+C
B.
C.earccosx+C
D.
15.定积分
的值为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
16.设积分上限函数
，则F（x）在下列哪点处存在极大值（ ）
A.x＝
B.x＝
C.x＝
D.x＝0
17.方程x3+2x-5＝0在下列哪个区间上至少有一个实根（ ）
A.(1,2)
B.
C.
D.(-1,0)
18.不定积分
（ ）
A.(x-1)ln(x+1)-x+C
B.(x-1)ln(x+1)+x+C
C.(x+1)ln(x+1)-x+C
D.(x+1)ln(x+1)+x+C
二、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共26分）
19.发散数列必无界. （ ）
20.函数f（x）在点x0处极限存在的充要条件是f（x）在点x0处的左、右极限都存在.（ ）
21.当x→0时，函数
是等价无穷小量. （ ）
22.由连续曲线y＝f（x）、直线x＝a、x＝b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体的体积为
. （ ）
23.设
则f（x）＝2x. （ ）
24.设M和m分别是连续函数f（x）在区间[c，d]上的最大值和最小值，则m（d-c）≤
. （ ）
25.曲线
，y＝1和y＝2都是f（x）的水平渐近线. （ ）
26.设函数f（x）＝3x2-3x+1，则f（x）在[0，1]上满足罗尔定理的
. （ ）
27.
. ( )
28.函数
在x＝1处不可导. （ ）
29.已知函数f（x）在[0，2]上的平均值为2，则定积分
. （ ）
30.根据定积分的几何意义
.（ ）
31.设f（x）的一个原函数是e3x ，则
. （ ）
三、计算题（第32题4分，第33题5分，共9分）
32.
33.
四、讨论题（5分）
34.已知函数
（A为常数），讨论f（x）在x＝0处是否连续.
五、应用题（6分）
35.求抛物线x＝4y2与直线
围成的平面图形的面积.（要求画出图形）
2016年少数民族预科数学会考试题（理）
（总分100分）
一、单项选择题（每小题3分，共48分）
1.下列函数在给定的极限过程中不是无穷小量的是（ ）
A.
B.ln(1-x) (x→1-)
C.
D.sin2x·cotx (x→0)
2.下列极限计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.方程x5-5x-2＝0在区间（ ）内至少有一个实根
A.(-1,0)
B.(-3,-2)
C.(0,1)
D.(2,3)
4.设f′（x0）＝1，则
＝（ ）
A.-2
B.-1
C.
D.2
5.函数
则f（x）在x＝0处（ ）
A.左导数存在
B.右导数存在
C.不可导
D.可导
6.曲线y＝xey+2在点（0，2）处的切线方程为（ ）
A.e2·x-y+2＝0
B.e-2·x-y+2＝0
C.e2·x+y+2＝0
D.e-2·x+y+2＝0
7.若
，则f（x）在区间[2，3]上（ ）
A.单调减少且是凸的
B.单调增加且是凸的
C.单调减少且是凹的
D.单调增加且是凹的
8.曲线
（ ）
A.有水平渐近线y＝0
B.有垂直渐近线
C.既有水平渐近线又有垂直渐近线
D.没有渐近线
9.下列式子正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下列式子不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.设函数f（x）的一个原函数是sin2x，则
＝（ ）
A.2xcos2x+sin2x+C
B.2xcos2x-sin2x+C
C.2xsin2x+cos2x+C
D.2xsin2x-cos2x+C
12.
＝( )
A.
B.
C.
D.
13.关于定积分的定义，下列结论错误的是（ ）
A.定积分的值与积分变量用什么符号表示有关
B.定积分的值与被积函数有关
C.定积分的值与积分区间[a，b]有关
D.
存在与区间[a，b]的分法及ξi的取法无关
14.若函数f（x）在区间[2，6]上连续，并且在该区间上的平均值是3，则
＝（ ）
A.4
B.8
C.12
D.16
15.
＝( )
A.
B.
C.
D.
16.函数y＝sinx在区间[0，π]上的弧与x轴围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题（每小题3分，共6分）
17.下列选项正确的是（ ）
A.如果函数f（x）在x＝a处不可导，那么f（x）在x＝a处不连续
B.(2+x)e2xdx＝d(xe2x)
C.y＝（sinx）x（0＜x＜π）的导函数是y′＝（sinx）x·（xcotx+lnsinx）
D.
(1+cosx)dx≤π
18.下列式子中正确的是（ ）
A.利用夹逼定理，可得
B.
C.
D.根据对称区间上奇偶函数积分的方法，可得
三、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共26分）
19.如果
相等，那么
不一定存在. （ ）
20.x＝3是函数
的第二类间断点. （ ）
21.如果函数f（x）在x→0时有极限，那么f（x）必定有界. （ ）
22.如果函数f（x）在点x0处连续，g（x）在点x0处不连续，那么f（x）+g（x）在点x0处一定不连续. （ ）
23.如果函数f（x）在点x0处可微，Δx是自变量x在x0点的增量，那么当Δx→0时，Δy-dy是Δx的等价无穷小. （ ）
24.函数
在[0，2]上满足罗尔定理的条件. （ ）
25
( )
26.
不 能使用洛必达法则计算，因为
在x→∞时极限不存在. （ ）
27.函数1+sin2x.-cos2x都是sin2x的原函数. （ ）
28.由参数方程
确定的函数的导数
. （ ）
29.如果函数f（x）在[a，b]上可积且f（x）≤0，那么
. （ ）
30.函数f（x）＝sinx在区间
上的弧长
. （ ）
31.根据定积分的几何意义
.（ ）
四、计算题（5分）
32.
五、讨论题（5分）
33.设
（1）a取何值时，f（x）在x＝0处连续；
（2）a取何值时，x＝0是f（x）的可去间断点.
六、证明题（5分）
34.设x＞1，证明不等式：ex＞ex.
七、应用题（5分）
35.设S1是由曲线y＝（x-1）2与直线y＝（t-1）2（1＜t＜2）及y轴所围图形的面积，S2是 由曲线y＝（x-1）2与直线y＝（t-1）2（1＜t＜2）及x＝2所围图形的面积（如图所示）.求：t取何值时，S（t）＝S1+S2取到极小值？极小值是多少？
2015年少数民族预科数学会考试题（文）答案
一、单项选择题（每小题3分，共48分）
1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D 11.B 12.A 13.D 14.C 15.C 16.A
二、多项选择题（每小题4分，共20分）
17.ACD 18.AC 19.BC 20.ABD 21.ABCD
三、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共32分）
22.F 23.T 24.T 25.F 26.F 27.T 28.F 29.T 30.F 31.F 32.F 33.T 34.F 35.T 36.F 37.T
2015年少数民族预科数学会考试题（理）答案
一、单项选择题（每小题3分，共48分）
1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.D 7.A 8.B 9.C 10.D 11.B 12.D 13.A 14.B 15.A 16.A
二、多项选择题（每小题4分，共20分）
17.BD 18.ABCD 19.ABD 20.ACD 21.BC
三、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共32分）
22.F 23.T 24.F 25.T 26.F 27.T 28.F 29.F 30.T 31.F 32.F 33.T 34.T 35.F 36.T 37.T
2016年少数民族预科数学会考试题（文）答案
一、单项选择题（每小题3分，共48分）
1.A 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.C 8.B 9.A 10.B 11.A 12.D 13.B 14.A 15.D 16.D 17.A 18.C
二、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共26分）
19.F 20.F 21.T 22.F 23.F 24.T 25.F 26.F 27.F 28.T 29.T 30.F 31.T
三、计算题（第32题4分，第33题5分，共9分）
32.
解：
33.
解：
四、讨论题（5分）
34.已知函数
（A为常数），讨论f（x）在x＝0处是否连续.
解：因为
所以 当e3＝2Ae3，即当
时，
当A≠
时，
五、应用题（6分）
35.求抛物线x＝4y2与直线y＝x
围成的平面图形的面积.（要求画出图形）画图
解一：
1.
2.
解二：
1.
2.
解三：
1.
2.
说明：其它类似解法可参照上述评分标准.
2016年少数民族预科数学会考试题（理）答案
一、单项选择题（每小题3分，共48分）
1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C 10.D 11.B 12.A 13.A 14.C 15.B 16.D
二、多项选择题（每小题3分，共6分）
17.CD 18.ABD
三、判断题（结论对的填T，错的填F，每小题2分，共26分）
19.F 20.T 21.F 22.T 23.F 24.F 25.T 26.T 27.T 28.F 29.T 30.T 31.F
四、计算题（5分）
32.
解法一
解法二
五、讨论题（5分）
33.设
（1）a取何值时，f（x）在x＝0处连续；
（2）a取何值时，x＝0是f（x）的可去间断点.
解：f（0）＝6，
（1）要使f（x）在x＝0处连续，只要2a2+4＝-6a＝6，解得a＝-1，即a＝-1时，f（x）在x＝0处连续；
（2）要使x＝0是f（x）的可去间断点，只要2a2+4＝-6a≠6，解得a＝-2，即a＝-2时，x＝0是f（x）的可去间断点. 5分
六、证明题（5分）
34.设x＞1，证明不等式：ex＞ex.
方法一：令f（t）＝et. 2分
显然f（t）在[1，x]上连续，在（1，x）内可导，则根据拉格朗日中值定理知，存在ξ∈（1，x），使得f（x）-f（1）＝f′（ξ）·（x-1），即ex-e＝eξ·（x-1）. 4分
由于1＜ξ＜x，所以ex-1＞e（x-1），即ex＞ex. 5分
方法二：令F（x）＝ex-ex， 2分
则F（x）在[1，+∞）上连续，在（1，+∞）内可导，且当x＞1时，有F′（x）＝ex-e＞0，所以F（x）在[1，+∞）上严格单调增加. 4分
于是，当x＞1时，F（x）＞F（1），即ex-ex＞0. 5分
七、应用题（5分）
35.设S1是由曲线y＝（x-1）2与直线y＝（t-1）2（1＜t＜2）及y轴所围图形的面积，S2是由曲线y＝（x-1）2与直线y＝（t-1）2 （1＜t＜2）及x＝2所围图形的面积（如图所示）.求：t取何值时，S（t）＝S1+S2取到极小值？极小值是多少？
方法一：根据题意知
则S′（t）＝6（t-1）2-2（t-1）-（t-1）2-（t-1）2＝4（t-1）2-2（t-1）＝2（t-1）（2t-3），
（或S′（t）＝4（t-1）2-2（t-1）＝2（t-1）（2t-3），）
令S′（t）＝0，在（1，2）内有驻点
.
显然，当
时，S′（t）＜0；当
时，S′（t）＞0.
所以S（t）在
处取得极小值. 4分
进而极小值是
方法二：根据题意知
（或
2分
则S′（t）＝-6（t-1）+2（t-1）[（t-1）+1]+2（t-1）[（t-1）+1]
＝2(t-1)(2t-3),
（或S′（t）＝4（t-1）2-2（t-1）＝2（t-1）（2t-3），）
令S′（t）＝0，在（1，2）内有驻点
.
显然，当
时，S′（t）＜0；当
时，S′（t）＞0.
所以S（t）在
处取得极小值. 4分
进而极小值是
（或
） 5分
说明：其它类似解法可参照上述评分标准.
