3.2  矩阵的运算

3.2 矩阵的运算

本节介绍矩阵的加法、减法、乘法、转置、共轭等基本运算，以及这些运算的基本性质.首先，我们需要定义矩阵的相等概念.

1.矩阵的相等

定义3.1 具有相同的行数与列数的矩阵称为同型矩阵.

例如，所有的m行n列矩阵都是同型的.

定义3.2 若矩阵A=（a_ij）_m×n与矩阵B=（b_ij）_m×n是同型矩阵，且对任何i，j，都有

a_ij=b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n

时，则称矩阵A和B相等，记作A=B.

换句话说，只有当两个矩阵的行数、列数分别相等且对应位置的元素都对应相等时，两个矩阵才能相等.

例3.3 设矩阵A与矩阵B分别为

则A=B.

2.矩阵的加（减）法运算

定义3.3 若矩阵A=（a_ij）_m×n，B=（b_ij）_m×n是同型的m×n阶矩阵，则定义m×n阶矩阵C=（c_ij）_m×n，其中c_ij=a_ij+b_ij，1≤i≤m，1≤j≤n为矩阵A和B相加的和，记作C=A+B，即

从上述定义可以看出，只有同型矩阵才可以相加，而相加时的规则是十分简单的，只需要把对应位置上的元素相加就可以了.这样，矩阵的加法运算有如下的重要性质：设A，B，C都是m×n阶矩阵，那么必然有：

（1）交换律A+B=B+A；

（2）结合律 （A+B）+C=A+（B+C）.这些性质的证明是简单的，故从略.

所有元素全是零的矩阵称为零矩阵，记作O_m×n或O.容易验证，任何矩阵与零矩阵相加都不变，即加法还具有性质：

A_m×n+O_m×n=O_m×n+A_m×n=A_m×n.

若矩阵A=（a_ij）_m×n，则矩阵（-a_ij）_m×n称为矩阵A的负矩阵，记作-A.显然，一个矩阵与它的负矩阵相加一定是零矩阵，也即

A+（-A）=（-A）+A=O.

类似于矩阵的加法运算，我们还可以定义两个矩阵A和B的减法运算.

定义3.4 若矩阵A=（a_ij）_m×n，B=（b_ij）_m×n是同型的m×n阶矩阵，则定义m×n阶矩阵D=（d_ij）m×n，其中d_ij=a_ij-bij，1≤i≤m，1≤j≤n为矩阵A和B相减的差，记作D=A-B，即

与普通数的运算一样，利用加法运算与负矩阵的概念，可以把矩阵的减法运算转化为矩阵的加法运算.显然，有等式

A-B=A+（-B）.

例3.4 若矩阵，，则有它们的和与差分别为

注意：行数或列数不同的矩阵不能做加减运算.

3.矩阵的数乘运算

矩阵的另一种基本运算是一个数与矩阵相乘，这种运算称为矩阵的数乘运算.

定义3.5 若矩阵A=（a_ij）_m×n，λ是一实数，则数λ和A的乘积称为矩阵的数量乘积，记作λA，定义为

数乘运算就是把矩阵的全部元素都乘以给定的数λ.矩阵的数乘运算具有如下性质：

（1）（λ+μ）A=λA+μA；

（2）λ（A+B）=λA+λB；

（3）（λμ）A=λ（μA）=μ（λA），

其中λ，μ为实数，A，B为矩阵.

4.矩阵的乘法运算

矩阵的乘法运算是一种比较复杂的运算，但是十分重要.其直接的来源是将两组线性关系做复合运算.

定义3.6 若有两个矩阵A=（a_ij）_m×p，B=（b_ij）_p×n，以AB表示矩阵A和B的乘积，它是一个m×n阶矩阵，其第i行、第j列的元素等于A的第i行的所有元素分别乘以B的第j列的对应元素之后，所得乘积的和，也即若记C=（c_ij）_m×n=AB，其中

依照定义，只有当矩阵A的列数和矩阵B的行数相等时，乘法才有意义.矩阵的乘法运算有如下性质：

结合律 （AB）C=A（BC）；

分配律 （A+B）C=AC+BC；

C（A+B）=CA+CB；

λ（AB）=（λA）B=A（λB）.

例3.5 设矩阵，，则矩阵A与B的乘积

但是，乘积BA是没有意义的.

例3.6 若矩阵，矩阵，则矩阵A与矩阵B的乘积

但是，矩阵B与矩阵A的乘积

显然这两个乘积不相等.由此可见，矩阵的乘法是不满足交换律的，即一般来说，

AB≠BA.

例3.7 矩阵乘法运算的一个直接来源是变量组之间的变量代换.设有三组变量x，y，z如下：

x₁，x₂；y₁，y₂，y₃；z₁，z₂.

这三组变量之间满足代数关系：

下面我们用变量组z₁，z₂来表示变量组x₁，x₂.将变量组（3.18）中的三组关系式代入变量组（3.17）得到

x₁=2y₁+3y₂-4y₃

=2（2z₁+6z₂）+3（5z₁-7z₂）-4（3z₁+4z₂）

=[2×2+3×5+（-4）×3]z₁+[2×6+3×（-7）+（-4）×4]z₂

=7z₁-25z₂， （3.19）

x₂=3y₁-5y₂-2y₃

=3（2z₁+6z₂）-5（5z₁-7z₂）-2（3z₁+4z₂）

=[3×2+（-5）×5+（-2）×3]z₁+[3×6+（-5）×（-7）+（-2）×4]z₂

=-25z₁+45z₂. （3.20）

这样就有

考虑关系式（3.17）与关系式（3.18）中右端变量的系数，可以得到两个矩阵，通常称之为系数矩阵，即

按照矩阵的乘法规则计算矩阵A与矩阵B的乘积得到

这正是式（3.21）的系数矩阵！对比式（3.19）～式（3.22）四式可以看出，矩阵乘法运算是变量代换运算的一种抽象.

利用矩阵乘法可以重写本例的全部结果.引入三个列向量（也是矩阵）如下：

则有

可以看出这是关系式（3.17）与关系式（3.18）的矩阵写法，可以简写为

X=AY，Y=BZ.

代入得到

X=（AB）Z.

这正是本题需要的结果.因此，变量的代入过程相当于对系数矩阵做相应的乘法运算.

具有n行与n列的矩阵A_n×n称为n阶方阵，简称方阵，记作A_n.若A是n阶方阵，可以归纳定义A的幂如下：

A^k=A^k-1A，k>1.

容易验证，方阵的幂有如下的运算性质：

（1）A^kA^l=A^k+l；

（2）（A^k）^l=A^kl，

这里，k，l都是正整数.

5.矩阵的转置

把矩阵的行列互换则会得到一个新矩阵，这种运算称为矩阵的转置运算.

定义3.7 设A=（a_ij）_m×n，把A的行依次改变为列，所得到的n×m矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记作

矩阵转置的性质：

（1）（A^T）^T=A；

（2）（A+B）^T=A^T+B^T；(https://www.daowen.com)

（3）（AB）^T=B^TA^T；

（4）（λA）^T=λA^T.

这些性质都很容易由定义验证.

6.几种特殊类型的矩阵

在方阵（a_ij）_n中，元素a_ii，i=1，2，…，n，所在的直线称为该方阵的主对角线.

形如

的方阵分别称为上三角阵、下三角阵.容易证明，两个上（下）三角阵的和与积都是上（下）三角阵.

形如

的方阵称为n阶对角阵，简记作diag（a₁，a₂，…，a_n）.n阶对角阵

称为n阶单位阵，记作E_n或E.

单位阵有简单而重要的运算性质.任何矩阵与单位阵相乘都不变，也就是说，

E_mA_m×n=A_m×nE_n=A_m×n.

若方阵A满足条件A^T=A，则称为对称矩阵；满足条件A^T=-A，则称为反对称矩阵.

7.矩阵的逆

在复数域内，除法运算是一种重要的运算，但是同样的概念却难以引入到矩阵中来.尽管如此，我们还是可以部分地实现除法运算，这需要引入一个类似于复数的倒数的新概念——逆矩阵.

定义3.8 设A是n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得

AB=BA=E_n，

则称方阵A是可逆的，n阶方阵B称为方阵A的逆矩阵.

由该定义可以马上看出，并不是每一个方阵都是可逆的.例如，零方阵就不是可逆的.关于逆矩阵有下面一些结果.

定理3.1 若方阵A可逆，则它的逆矩阵是唯一的.

证明：若方阵B和C都是方阵A的逆矩阵，由定义有

AB=BA=E

且

AC=CA=E.

那么，

B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C.

这表明，逆矩阵是唯一的.证毕.

通常，把可逆方阵A的逆矩阵记作A^-1.

定理3.2 若A，B是n阶可逆方阵，则AB可逆，且

（AB）-1=B^-1A^-1.

证明：由于A，B是n阶可逆方阵，因此A^-1，B^-1都存在，且

（AB）（B^-1A^-1）=A（B（B^-1A^-1））

=A（（BB^-1）A^-1）

=A（EA^-1）

=AA^-1

=E.

类似地，有（B^-1A^-1）（AB）=E，由逆矩阵的定义可见，AB可逆，且

（AB）^-1=B^-1A^-1.

证毕.

对于可逆方阵A，可以定义它的零指数幂及负整指数幂如下：

A⁰=E，

A^-n=（A^-1）ⁿ=（Aⁿ）-1.

容易验证，方阵的幂具有下列运算性质：

（1）A^-n=（A^-1）ⁿ=（Aⁿ）-1；

（2）AⁿA^m=A^n+m；

（3）（Aⁿ）^m=A^nm，

这里，m，n都是整数.

习题

3.2.1. 已知

计算：A+B-C，2A-3B+4C，C^T-A^T+2B^T.

3.2.2. 已知A，B，计算AB.

3.2.3. 计算：

（2），n是正整数.

3.2.4. 设

计算：A^k，k是正整数.

3.2.5. 证明：两个上（下）三角阵的和与积都是上（下）三角阵.

3.2.6. 下列关系式是否成立？

（1）A²-B²=（A+B）（A-B）；

（2）（A+B）²=A²+2AB+B².

3.2.7. 设A，B，C都是矩阵.

（1）如果AB=O，是否一定有A=O或者B=O？为什么？

（2）如果AB=AC且A≠O，是否一定有B=C？为什么？

3.2.8. 用E_ij记第i行第j列位置的元素为1，其余元素都是0的n阶方阵.若A是n阶方阵，计算AE_ij及E_ijA.

3.2.9. 设A是m×n阶矩阵，如果对任意的n维列向量α都有Aα=0，则A=O.

3.2.10. 称方阵A是幂零阵，如果存在正整数k，使得A^k=O.证明：n阶方阵

就是一个幂零阵.

3.2.11. 主对角线元素全是零的上三角矩阵一定是幂零矩阵.

3.2.12. 设λ是一个实数，A是n阶方阵.

（1）证明：；

（2）若是n阶方阵，计算A^m，m是正整数.

3.2.13. 求出所有满足条件A²=E的二阶方阵.

3.2.14. 求出和所有的n阶方阵都可换的方阵.

3.2.15. 若A，B是对称矩阵，则AB也对称的充分必要条件是AB=BA.

3.2.16. 证明：任意的n阶方阵都一定可以唯一地写成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和的形式.

3.2.17. 设A是n阶实方阵，试证：A是对称矩阵的充分必要条件是AA^T=A².

3.2.18. 设A是n阶方阵，若A²=E，则称为对合阵；若A²=A，则称为幂等阵.证明：A是幂等阵的充分必要条件是E-2A是对合阵.

3.2.19. 分别对适合下列等式的方阵A，证明E-A是可逆矩阵，并求出（E-A）^-1.

（1）A²=2A；

（2）A²-A+E=0；

（3）A³=3A（A-E）；

（4）A^k=30，k为一正整数.

3.2.20. 设A，B分别是m×n，n×m矩阵，若E+AB可逆，则E+BA也可逆，并求出其逆.

3.2.21. 设矩阵A，B，A+B都是可逆矩阵，证明：

（A+B）^-1=A^-1-A^-1（A^-1+B^-1）^-1A^-1.

3.2.22. 设A是n阶方阵，则称a₁₁+a₂₂+…+a_nn为方阵A的迹，记作trA.证明：

（1）tr（A+B）=trA+trB；

（2）tr（kA）=ktrA.

3.2.23. 设矩阵A与B分别是n×m阶与m×n阶矩阵，证明：

（1）tr（AB）=tr（BA）；

（2）不存在方阵A，B，使得AB-BA=E.