高等代数_数学物理化学

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前言

高等代数与数学分析、解析几何并称本科数学专业的三大数学专业基础课程，是进一步学习各个数学分支学科的必备基础. 高等代数主要讲授线性空间的理论，也兼顾一部分多项式

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第1章预备知识

本章的内容是一些基本的数学概念，以及学习代数学的基础知识.第1.1节介绍了集合的概念、关系及其研究方法.第1.2节介绍了一种重要的数学关系——等价关系，这种关系

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1.1 集合及其运算

在数学中，有许多概念是不定义概念，如几何学中的点、线、面等概念.集合与元素是集合论的基本概念，也是一对不定义概念.集合论是著名的德国数学家George Cant

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1.2 等价关系

数学的一项重要任务是在纷繁复杂的个体中发现它们的某种共性，并且利用这种共性解决问题.等价关系就是为实现这样一个目的而引入的.本节的目的就是对于这种在数学中最常见

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1.3 映射

定义1.8 设X，Y是非空集合，所谓映射f是集合X，Y以及X和Y的元素之间的一个对应法则f，依照这个法则，X中的每一个元素x都对应于Y中唯一确定的一个元素y.映

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1.4 自然数与数学归纳法

自然数1，2，3，…是我们最先认识到的数，是我们日常计数的工具，也是代数学研究的基础.通常把全体自然数组成的集合，记作N.自然数来源于我们对计数的需要，在这里我

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1.5 数域

在中学数学里，我们学过复数.复数是如下定义的：若a，b是实数，那么形如a+bi，的表达式称为复数.若b≠0，则a+bi称为虚数；若a=0，b≠0，则bi称为纯虚

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第2章多项式

多项式是一类最为简单的函数.本章研究多项式函数的代数性质，包括多项式的加法、减法、乘法以及整除性等问题.本章的核心是证明了数域上的多项式的因式分解定理，并讨论了

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2.1 多项式及其运算

设F是一个数域，x是一个未定元，a0，a1，…，an是数域F中的一组数，称形如 anxn+…+a1x+a0 的表达式为数域F上关于未定元x的一元多项式，其中ai

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2.2 整除

正如整数的除法在整数范围内不能畅通无阻地进行一样，多项式的除法也不是总可以进行的.但是，我们可以类似于整数的带余除法引入多项式之间的带余除法运算. 定理2.1

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2.3 最大公因式

定义2.2 若f（x）和g（x）是数域F上的多项式，如果数域F上的多项式d（x）满足条件：（1）d（x）|f（x）且d（x）|g（x）；（2）如果h（x）|

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2.4 多项式的因式分解

所谓多项式的因式分解就是把一个多项式写成一些次数较低的多项式的乘积的形式.如同整数的算术基本定理一样，本节将证明数域上的一元多项式环中的唯一分解定理. 定义2.

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2.5 多项式的根

设f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是数域F上的多项式，α是数域F中的一个元素，那么anαn+an-1αn-1+…+a1α+a0∈F称为多项

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2.6 复系数与实系数多项式

前面的讨论已经知道，数域F上的多项式在F内一定可以分解为一些不可约多项式的乘积.但是，一个多项式在不同数域内的分解情况是不一样的.例如，多项式x4-4，在有理数

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2.7 有理系数与整系数多项式

一个有理系数多项式anxn+…+a1x+a0总可以化为a（bnxn+…+b1x+b0）的形式，其中a是有理数，bi都是整数，ai=abi，0≤i≤n，并且系数组

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2.8 多元多项式

从本节开始，我们讨论多元多项式的性质与应用. 设F是一个数域，x1，x2，…，xn是n个独立的未定元，称形如的表达式为关于未定元x1，x2，…，xn的一个n

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2.9 对称多项式

本节讨论一种重要的多元多项式——对称多项式，并且研究用初等对称多项式表示对称多项式的方法. 定义2.13 若f（x1，x2，…，xn）是一个n元多项式，对1，2

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第3章矩阵

矩阵起源于对线性方程组的研究.如今，矩阵是研究变量之间线性关系的有力工具，在数学理论与应用方面都有重要价值.本章研究矩阵的基本运算——加法、数乘、乘法等运算及其

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3.1 线性方程组与矩阵

在平面直角坐标系中，直线的方程是一个一次方程，如2x+3y=1.像这样变量次数为1的方程，称之为线性方程.一般来说，若x1，x2，…，xn是一组变量，a1，a2

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3.2 矩阵的运算

本节介绍矩阵的加法、减法、乘法、转置、共轭等基本运算，以及这些运算的基本性质.首先，我们需要定义矩阵的相等概念. 1.矩阵的相等定义3.1 具有相同的行数与列

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3.3 矩阵的初等变换

最重要的矩阵运算是矩阵的初等变换.观察例3.2的解决过程可以看到，在解方程组的过程中，需要对方程组作三种变换，即交换两个方程的位置、将一个非零数乘在一个方程上、

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3.4 矩阵的相抵

初等变换对于矩阵来说是最重要的运算.初等变换到底改变了什么呢？为了研究这个问题，需要引入一种矩阵之间的等价关系——相抵关系. 定义3.11 矩阵A和B是同型的m

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3.5 分块矩阵

将一个矩阵用横直线和纵直线分成若干块就得到分块矩阵.例如，就可将A化为一个分块矩阵.如果记 A21=（3），A22=（0-1）则A可写为在形式上，A

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3.6 矩阵的秩

矩阵的秩是矩阵在相抵下的一个重要的不变量，本节着重讨论这个概念.首先，有如下定理：定理3.10 设A是m×n阶矩阵，那么有不等式 rankAm×n≤min{m

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第4章线性空间

线性空间又称向量空间，是现实世界中三维立体空间的抽象与推广，是一种带有所谓线性运算的重要代数结构.本章介绍了线性空间的概念及其基本性质，引入了对于线性空间来说首

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4.1 线性空间的定义

定义4.1 设F是数域，V是一个非空集合，V中的元素具有两种运算，分别称为加法运算和数乘运算.所谓加法运算，就是一个对应法则，该法则使得集合V中任意两个元素α，

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4.2 向量的线性相关性

在线性空间中，向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.本节研究向量在线性运算之下的关系，也就是通常所说的向量的线性相关性. 定义4.2 若α1，α2，…，αs

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4.3 基·维数·坐标

维数是经常遇到的一个数学概念.例如，通常所说的二维平面和三维空间等.本节将解释维数这个概念的真实意义. 定义4.5 如果在线性空间V中，存在n个线性无关的向量α

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4.4 坐标变换

由例4.22可以看到，在线性空间V中，同一向量在不同的基之下的坐标不一定相同.本节研究同一向量在不同基之下的坐标之间的关系，由此得到一般的线性空间中的坐标变换公

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