边界元法基本理论

一 、边界元法基本理论

边界元法有时也称为边界积分方法BIM（Boundary Integral Method），或者是边界积分方程方法BIEM（Boundary Integral Equation Method），它的基本思想是基于格林公式的应用，把一个区域上的积分转化为该区域边界上的积分。20世纪70年代中期，英国南安普敦大学Brebbia提出，作为一种与有限差分法、有限元法并列的数值方法，边界积分方程方法应当称为边界元法，这一称呼已被公认。

边界元的主要优点是以下三点：

1）将问题的维数降低一维，因此对空间的离散只需在边界上离散化，而不像有限元法需将整个求解域离散，可大大减少单元。同时，求解声场时不对时间进行离散，而是对所计算的频率区间进行离散，减少了数据量和计算时间。

2）边界元法是一种半解析数值方法，在求解域内是解析的，具有解析与离散相结合的特点，因而精度也较高，误差主要来源于边界单元的离散，累积误差小，便于控制。

3）由于边界元方程自动满足无穷远的边界条件，因此特别适用于无界声场的求解。同时边界元法只需对边界进行单元剖分，利用形函数插值求出边界节点上的未知值，就可以通过边界上的已知值计算声场内任意点的解析值，这对无界区域上的问题特别有意义。

简谐激励作用下结构振动在外部流体介质中产生的辐射声压满足Helmholtz微分方程

▽²p（x）+k²p（x）=0， x∈D （5.10）

式中，▽²为Laplace算子；p是结构表面x处的声压；k是波数；声场D被划分为外声场D⁺和内声场D-，它们的边界分别为∂D+和∂D-。(https://www.daowen.com)

对于振动结构外场声辐射问题，边界条件为Neumann边界条件（给定∂p/∂n），如式（5.11）所示。

式中，n为法向单位矢量；α、χ、γ为给定的参数。Sommerfeld辐射条件

式中，r为声场中的观察点与声源表面的距离；j为虚数单位。

应用加权残值法并考虑适当的边界条件，利用方程的基本解（三维自由空间格林函数）：

可得到Helmholtz直接和间接边界积分方程，对边界积分方程利用边界元法进行离散，即得到边界元求解方程。