3.4.1 嵌套保护水平
为了探讨期望总收益与决策变量yi的关系，对式（3-6）求关于yi的偏导
：
式（3-7）随着yi的增加而减小，是yi的减函数。表达式（3-4）是yi的凹函数，且在
时取得最大值。存在一个最优保护水平
0，当且仅当yi＞
时，继续接受更低等级的订票需求，否则拒绝，保留给等级i。
满足以下条件：
即
因为Dk服从均值为μk标准差为σk的正态分布，所以，表达式
服从均值为
hkjpkj））×μk、标准差为
的正态分布，所以有
为简化起见，令
则保护水平
可由下式得到
定理3.1 保护水平
是降级转移概率pij（i＜j）的单调减函数，是升级购买概率p（i+1）i的单调递增凹函数。
证明 首先来证明保护水平同降级转移概率之间的关系。
仅考虑i及其以上等级到i+1等级的降级购买概率和保护水平
之间的关系，所以到其他等级的降级购买概率可看为常数。
对
求关于pij（i＜j）的偏导
因为1-p（i+1）i≥0，所以此处仅考虑分子部分。
其中，
因为对于任一等级来说，hkjpkj＜1，所以(https://www.daowen.com)
令
由上述假设可知，g是一个量，所以该项的增减性同f（pkj）的增减性。对f（pkj）求导，则有
由此可以得到
所以，保护水平
是i以上等级的降级购买概率的单调减函数。
同理，证明保护水平同升级转移概率的关系。
因为假定升级转移只发生在相邻的两等级间，所以对
求关于升级购买概率p（i+1）i的偏导：
为方便讨论，令
令
首先，证明f（p（i+1）i）＞0。
因为ai是p（i+1）i的增函数，所以有
。0＜P（i+1）i＜1，所以
。
根据式（3-10），
把ai代入到f（p（i+1）i）中，有下式成立：
根据前面的介绍，yi+1-
=bi+1是第i+1等级的预订限制，且对折扣票的需求往往大于为折扣票分配的预订限制，所以
综上，我们证明了f（p（i+1）i）＞0，且是p（i+1）i的增函数。
显然，
且是p（i+1）i的增函数。所以f（p（i+1）i）×g（p（i+1）i）＞0，即
是p（i+1）i的单调递增凹函数。 □
定理3.1 说明保护水平随降级购买概率的增加而减小。在实际应用中，要求航空公司应当为不同等级票设置相应的价格栅栏，防止较高等级需求向较低等级需求的转移。同时，定理3.1还说明保护水平是升级购买概率的单调递增凹函数，随着升级购买概率的增加而增加。航空公司为使收益最大化，要尽量提升升级购买的转移概率。降级转移概率和升级转移概率的计算在下面详细给出。