3.2.2  二维波动方程

3.2.2 二维波动方程

将3.2.1小节中的一维无界弦自由振动方程推广到二维空间上，就得到了描述无界（-∞＜x,y＜∞）弹性薄膜的波动方程：

取a=1，初始条件为：

可以这样理解上述初始条件的物理意义：两手抓住弹性薄膜的两个位置，分别提起，使薄膜上形成两个峰，在t=0时刻突然松手。根据生活常识可以预料到，这两个位置的薄膜将来回振动，与此同时，产生的波向四周传播，而且波与波会在相遇处叠加。

为便于求解，引入函数v对式（3-26）进行降阶，得：

对上式等号两边做傅里叶变换，得到常微分方程组：

(https://www.daowen.com)

接下来用ode45求解即可，代码如下：程序3-4

主程序代码如下：

文件wave2D.m代码如下：

程序输出结果如图3-6所示，它反映了弹性薄膜上的波向四周传播的过程。

图3-6 二维波动方程的数值解