3.2.3  一维非线性薛定谔方程

3.2.3 一维非线性薛定谔方程

非线性薛定谔方程（nonlinear Schödinger equation）在非线性物理学中的地位是举足轻重的，它广泛应用于非线性光纤光学、等离子体物理、凝聚态物理等领域，它的归一化形式如下：

其中，u为复振幅，x、t代表空间坐标、时间。对式（3-30）做傅里叶变换，得偏微分方程：

由逆散射方法可知，当初始条件为u(x,0)=N·sech(x)时，如果N=1，u的形状在传播过程中保持不变，如果N≥2，u的形状则进行周期性的变化。N称为孤子的阶数，N=1对应的是基态孤子，N≥2对应的是高阶孤子。这里取N=2的情况作初始条件，使用傅里叶谱方法求解式（3-31）的代码如下：

程序3-5

主程序代码如下：(https://www.daowen.com)

文件NLSE.m代码如下：

程序输出结果如图3-7所示，左图为空域上的u(x,t)，右图为频域上的û(k,t)，二者都在传播过程中做周期性变化，最短周期约为π/2，这与逆散射法的解析结果相符。

图3-7 非线性薛定谔方程中的二阶孤子